Obliczyć pierwiastki liczb zespolonych 3 i 4 stopnia.

[malzon]

Oblicz:

a) \(\displaystyle{ \sqrt[3]{1-i}}\)
b) \(\displaystyle{ \sqrt[4]{3+4i}}\)

Bardzo proszę o pomoc. Zależy mi na czasie.
Pozdrawiam.

[kolorowe skarpetki]

\(\displaystyle{ \textbf{Twierdzenie} \quad \text{Istnieje dokładnie n pierwiastków stopnia n z dowolnej liczby zepolonej} \\ z\neq 0. \text{Gdy} \, \, z= \vert z \vert \left ( \cos \varphi + i \sin \varphi \right ), \text{to dane są one wzorem :}

\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{\vert z \vert} \left ( \cos \frac{ \varphi + k \cdot 360^{\circ}}{n}+i \sin \frac{ \varphi + k \cdot 360^{\circ}}{n} \right ), \, \, \text{gdzie} \, \, k=0,1,2,\ldots,n-1}\).

Postać trygonometryczna : \(\displaystyle{ z =\vert z \vert \left ( \cos \varphi +i \sin \varphi\right)}\) , gdzie \(\displaystyle{ \varphi}\) argument liczby zespolonej z.

\(\displaystyle{ z=1-i}\)

\(\displaystyle{ \vert z \vert=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos \varphi =\frac{a}{\vert z \vert}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin \varphi =\frac{b}{\vert z \vert}=\frac{-1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} \, \Longrightarrow \, \varphi =\frac{7\pi}{4}}\)

\(\displaystyle{ 1-i=\sqrt{2} \left (\cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} \right )}\)

Mając już postać trygonometryczną liczby zespolonej, wystarczy wstawić odpowiednio do wzoru z Tw., by otrzymać 3 pierwiastki stopnia 3.