Matematyka.pl

Udowodnij,że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \ge 2}\) prawdziwa jest nierówność:\(\displaystyle{ \frac{1}{ 1^{2} }+ \frac{1}{ 2^{2} }+ \frac{1}{3 ^{2} }+...+ \frac{1}{n ^{2} }}\)jest mniejsze od \(\displaystyle{ 2- \frac{1}{n}}\)

Dla \(\displaystyle{ n = 2}\) zachodzi. Załóżmy że zachodzi dla n i udowodnijmy dla n+1
Zatem z założenia indukcyjnego zachodzi
\(\displaystyle{ 2- \frac{1}{n} \ge \frac{1}{ 1^{2} }+ \frac{1}{ 2^{2} }+ \frac{1}{3 ^{2} }+...+ \frac{1}{n ^{2} }}\)

a chcemy pokazać
\(\displaystyle{ 2- \frac{1}{n+1} \ge \frac{1}{ 1^{2} }+ \frac{1}{ 2^{2} }+ \frac{1}{3 ^{2} }+...+ \frac{1}{n ^{2} } + \frac{1}{(n+1) ^{2} }}\)

Zatem wystaczy żeby zachodziło:
\(\displaystyle{ 2- \frac{1}{n+1} \ge 2- \frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1) ^{2} }}\)

co po prostych przekształceniach jest prawdą