Matematyka.pl

W kwadracie o boku długości 1 cm połączono środek jednego z boków z końcami przeciwległego boku, dzieląc kwadrat na trzy trójkąty. Oblicz sumę długości promieni kół wpisanych w dwa z tych trójkątów, mających wspólny bok.

Mamy tu trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(\displaystyle{ 1\ \ i\ \ \frac{1}{2}}\)
Przeciwprostokątna ma długość \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{5}}{2}}\)
Obwód tego trójkąta jest równy \(\displaystyle{ \frac{3+\sqrt{5}}{2}}\)
r- promień okręgu wpisanego w ten trójkąt
\(\displaystyle{ \frac{1\cdot\frac{1}{2}}{2}=\frac{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}{2}r\\r=\frac{1}{3+\sqrt{5}}=\frac{3-\sqrt{5}}{4}}\)

Drugi trójkąt to równoramienny trójkąt o podstawie 1 i wysokości 1. Ramiona mają długości \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{5}}{2}}\).
Obwód:
\(\displaystyle{ \sqrt{5}+1}\)
R- promień okręgu wpisanego w ten trójkąt
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}R\\R=\frac{1}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}}\)

suma promieni:
\(\displaystyle{ \frac{3-\sqrt{5}}{4}+\frac{\sqt{5}-1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}}\)

nie wiem, czy o to chodziło?

irena_1, Dzięki jesteś wielka!