Matematyka.pl

1. Na nici o długości L = 2 m zawieszono ciężarek. Jaką najmniejszą prędkość początkową (w kierunku poziomym) należy nadać ciężarkowi w najniższym punkcie toru, aby mógł on zataczać okręgi w płaszczyźnie pionowej. Dane jest g.

2. Ciało zsuwa się bez prędkości początkowej z punktu P położonego na wysokości h = 3R. a) Narysować siły działające na ciało w najwyższym punkcie pętli, b) znaleźć prędkość ciała w tym punkcie, c) znaleźć siłę z jaką ciało oddziałuje na tor, d) z jakiej minimalnej wysokości h należałoby spuścić ciało, aby nie oderwało się ono od toru w jego najwyższym punkcie ? Tarcie zaniedbać.


3. Jaka siła działa na lotnika o masie m = 75 kg w górnym i dolnym punkcie pętli, którą zatacza w płaszczyźnie pionowej lecąc samolotem ? Promień pętli 400 m, prędkość samolotu 360 km/godz. Obliczenia proszę prowadzić w układzie inercjalnym i nieinercjalnym. Uwaga na jednostki !

4. Dane jest pole wektorowe o składowych Fx= 6xy, Fy= 3x2 – 3y2, Fz= 0. Sprawdzić czy to pole jest zachowawcze licząc całkę po konturze będącym prostokątem o wierzchołkach w punktach: A(0,0); B(0,y0); C(x0,y0); D(x0,0).

5. Udowodnij, że pole grawitacyjne jest polem zachowawczym.

6. Na powierzchni Ziemi, w odległości R od jej środka, przyspieszenie grawitacyjne wynosi g. Ile wynosi przyspieszenie grawitacyjne na orbicie planetoidy o masie równej 1/6 masy Ziemi, w odległości R/2 od środka planetoidy ? Gęstość planetoidy jest równa gęstości Ziemi.

7. Zbadać, korzystając z pojęcia potencjału oblicz, w jakim przedziale wysokości h nad Ziemią może być stosowany uproszczony wzór E = mgh na energię potencjalną (lub pracę) w polu sił ciężkości - aby błąd względny popełniany przy obliczeniu był mniejszy od 1 % .

8. Połowa cienkiego jednorodnego pierścienia ma masę M i promień R. Z jaką siłą oddziałuje ten półpierścień na ciało o masie m umieszczone w środku jego krzywizny i jakie jest natężenie pola grawitacyjnego w tym punkcie ?

9. Ciało o masie m zostało puszczone swobodnie do tunelu przewierconego przez kulę ziemską wzdłuż osi łączącej bieguny. Znaleźć prędkość ciała, gdy będzie ono przelatywać przez środek Ziemi.

Rozwiązania będą dozowane partiami - wybacz, ale w moim obecnym stanie zdrowia zbytnio nie chce mi się przesiadywać przed monitorem .

Ad 4.

Aby pole wektorowe było zachowawcze, spełnione powinny być dwa warunki - praca w tym polu nie powinna zależeć od drogi, oraz praca na drodze zamkniętej winna równa być zero. Sprawdźmy zatem, czy rzeczywiscie praca na drodze zamkniętej równa jest zeru - będziemy rzecz jasna całkować siłę po kolejnych bokach prostokąta w zadanych granicach.

Spełniony powinien być warunek:

\(\displaystyle{ \oint_{l}\vec{F}\circ d\vec{l}=0}\)

Umieśćmy prostokąt w układzie współrzędnych; załóżmy, iż poruszamy się po nim zgodnie z ruchem wskazówek zegara, począwszy od prawego dolnego rogu; podzielmy trasę na cztery części:

1. dolna podstawa

Mamy:

\(\displaystyle{ \int_{x_0}^{0}-\vec{F}\circ d\vec{x}}\)

Minus wynika stąd, iż działamy siłą przeciwstawiającą się siłom pola.

Rozszyfrujmy jeszcze zapis iloczynu skalarnego - można od razu zauważyć, że składowa y-kowa siły nie wpływa na wykonaną pracę, gdyż cosinus kąta prostego równy jest 0. Można to jednak zapisać formalnie:

Udowodnić można, iż \(\displaystyle{ \vec{a}\circ \vec{b}=a_x b_x +a_y b_y +a_z b_z}\). Skoro tak, mamy:

\(\displaystyle{ -\vec{F}\circ d\vec{x}=-F_x dx_x +(-F_y dx_y) + (-F_z dx_z)=-F_x dx+0+0=-F_x dx}\), gdyż naturalne jest, że składowe infinitezymalnego wektora \(\displaystyle{ d\vec{x}}\) inne, niż równoległe do osi OX nie istnieją.

Przeto otrzymujemy:

\(\displaystyle{ W_1 =\int_{x_0}^{0}-F_x dx=\int_{x_0}^{0}-6xydx=0}\)

Praca równa jest zero, gdyż dla tej siły y=0 i -6xy=0.

2. lewy bok

\(\displaystyle{ W_2 =\int_{0}^{y_0}-(3x^2 -3y^2)dy=-3\left[ yx^2 -\frac{y^3}{3} \right] _{0}^{y_0}=-3\left( y_0 x^2 - \frac{y_{0}^{3}}{3} \right)=y_{0}^{3}}\)

Analogicznie - tutaj x=0.

3. górna podstawa

\(\displaystyle{ W_3 =\int_{0}^{x_0}-6xydx=-6y ft. \frac{x^2}{2} \right|_{0}^{x_0}=-3yx_{0}^{2}=-3y_0 x_{0}^{2}}\)

Dla tego położenia bowiem \(\displaystyle{ y=y_0}\).

4. prawy bok

\(\displaystyle{ W_4 =\int_{y_0}^{0} -3(x^{2} - y^2)dy=-3\left[ yx^2 -\frac{y^3}{3} \right] _{y_0}^{0}=-3\left(\left(0-y_0 x^2 \right) - ft(0-\frac{y_{0}^{3}}{3} \right) \right)=-3\left(-y_{0}^{2}x+\frac{y_{0}^{3}}{3} \right) =-3\left(-y_{0}^{2}x_0+\frac{y_{0}^{3}}{3} \right)}\)

Tutaj \(\displaystyle{ x=x_0}\).

Zsumujmy otrzymane wyniki:

\(\displaystyle{ W_{1234}=W_1 +W_2 +W_3 +W_4=0+y_{0}^{3}-3y_0 x_{0}^{2} +3y_0 x_{0}^{2}-y_{0}^{3}=0}\)

Nie ulega wątpliwości już chyba kwestia zachowawczości pola .