Matematyka.pl

udowodnij że:
a) jeśli \(\displaystyle{ a>1}\) i \(\displaystyle{ b>-1}\), to \(\displaystyle{ a(a+b)>b+1}\)

b) jesli \(\displaystyle{ a<b}\) i \(\displaystyle{ a+b-1>0}\), to \(\displaystyle{ a^{2} - b^{2} <a-b}\)

c) jeśli \(\displaystyle{ ab<0}\), to \(\displaystyle{ \frac{a}{b} +\frac{b}{a}<0}\)

d) jeśli \(\displaystyle{ 0<a<b}\), to \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2a+b}<\frac{2b}{3a}}\)

e) jesli \(\displaystyle{ 0<a<b}\), to \(\displaystyle{ \frac{2b}{ (a+b)^{2} }>\frac{1}{a+b}}\)

bardzo prosze o pomoc.

1. \(\displaystyle{ a(a+b)>b+1}\)
\(\displaystyle{ a^{2}+ab>b+1}\)
\(\displaystyle{ a^{2}+ab-b-1>0}\)
\(\displaystyle{ (a-1)^{2}+2a+ab-b-2>0}\)
\(\displaystyle{ (a-1)^{2}+a(2+b)-(2+b)>0}\)
\(\displaystyle{ (a-1)^{2}+(a-1)(b+2)>0}\)
\(\displaystyle{ (a-1)(a-1+b+2)>0}\)
\(\displaystyle{ (a-1)(a+b+1)>0}\)
Teraz wystarczy pokozać,że jest to nierówność prawdziwa. A wg założeń każy z tych czynników jest dodatni, więc ich iloczyn jest większy od 0.

b.
z założeń wynika, że \(\displaystyle{ a+b>1}\)
\(\displaystyle{ a^{2} - b^{2} <a-b \Rightarrow
(a-b)(a+b)<a-b \Rightarrow
(b-a)(a+b)>b-a}\)
Jest to prawda, ponieważ \(\displaystyle{ a+b>1}\)-- 5 lis 2010, o 21:38 --c.
\(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2}{ab} <0}\)
jest to prawda, ponieważ licznik jest dodatni, a mianownik ujemny

d.
\(\displaystyle{ 3a(a+b)<2b(2a+b) \Rightarrow 3a^2+3ab<4ab+2b^2 \Rightarrow 2b^2+ab-3a^2>0 \Rightarrow 2b(b-a)+3a(b-a)>0 \Rightarrow (2b+3a)(b-a)>0}\)
To jest prawda, gdyż \(\displaystyle{ b>a \wedge 2b+3a>0}\)

e.
\(\displaystyle{ 2b(a+b)>(a+b)^2 \Rightarrow 2ab+2b^2>a^2+2ab+b^2 \Rightarrow b^2>a^2}\)
A to jest prawdziwe, ponieważ \(\displaystyle{ b>a}\)