Matematyka.pl

Witam, mam problem z takim zadaniem:

Wykazać, że liczba \(\displaystyle{ 5^{120} − 4^{60}}\) jest podzielna przez 21.
----
Można to zapisać \(\displaystyle{ (5 ^{2}) ^{60}-4 ^{60}=25^{60}-4^{60}}\), nie wiem co teraz zrobić... proszę o pomoc.

\(\displaystyle{ 5 ^{120}-4 ^{60}=5 ^{120}-2 ^{120}=(5 ^{60}-2 ^{60})(5 ^{60}+2 ^{60})}\)

Teraz rozpisz to ze wzorów na \(\displaystyle{ a ^{n}-b ^{n}\ i \ a ^{n}+b ^{n}}\).
Otrzymasz iloczyn, w którym będą czynniki (5+2)(5-2) czyli 21, co dowodzi, że liczba jest podzielna przez 21.

Znacznie szybciej, bez rozbijania parami:
\(\displaystyle{ a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \ldots + ab^{n-2} + b^{n-1})}\)
Od razu masz w lewym nawiasie \(\displaystyle{ 25 - 4 = 21}\).