Matematyka.pl

Znaleźć wszystkie liczby pierwsze p takie, ze 3p + 1 jest czwarta potęgą liczby naturalnej.

---
Niech p będzie liczbą pierwszą, taką że \(\displaystyle{ 3p+1=n ^{4}}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\)

\(\displaystyle{ 3p+1=n^{4}}\)
\(\displaystyle{ 3p=(n-1)(n ^{3}+n ^{2} +n+1)}\)

dalej nie mam pomysłu, wydaje mi się, że trzeba przedstawić lewą stronę równania w postaci dwóch iloczynów ale nie mogę wpaść co to za liczby...

Jeśli p jest pierwsza to masz tylko możliwości \(\displaystyle{ 3p=3\cdot p=3p\cdot 1}\)

\(\displaystyle{ 3p+1=n^4}\)
\(\displaystyle{ 3p=n^4-1}\)
\(\displaystyle{ 3p=(n-1)(n+1)(n^2+1)}\)

Możemy założyć, że n jest różne od 1 (gdyby było równe to 3p=0, więc p=0 nie jest l. pierwszą).
Już teraz widzimy, że jeśli n będzie nieparzyste, to prawa strona będzie podzielna przez 2. Wówczas lewa strona też musi być podzielna, a więc p jest podzielne przez 2. To daje nam 2 opcje:
p=2 lub p nie jest liczbą pierwszą (sprzeczne).
Rozpatrzmy więc przypadek gdy p=2. Wówczas
\(\displaystyle{ n^4=7}\)
Oczywiście żadna liczba naturalna nie jest rozwiązaniem tego równania.
Jeśli zaś n będzie parzyste, to:

Przyjmijmy teraz, że n jest liczbą parzystą.
Zauważmy, że mamy 3 możliwości:
1) reszta z dzielenia n przez 3 wynosi 1
2) reszta z dzielenia n przez 3 wynosi 2
3) n dzieli się przez 3

Rozpatrzmy te przypadki:
1) Wówczas (n-1) dzieli się przez 3. Po skróceniu dostajemy p jako iloczyn 3 liczb, więc nie jako liczbę pierwszą.
2) Wówczas (n+1) dzieli się przez 3. Po skróceniu dostajemy p jako iloczyn 3 liczb, więc nie jako liczbę pierwszą.
3) Gdy n jest liczbą podzielną przez 3, to \(\displaystyle{ n^4}\) także. Jednak \(\displaystyle{ n^4}\)=3p+1. Prawa strona na pewno nie jest podzielna przez 3, więc znów dostajemy sprzeczność.

Wynika stąd, że nie ma liczby pierwszej, która spełnia to równanie.

Zawiłe, ale mam nadzieję, że bez błędów

Dzięki wielkie Panowie,

Nie wiem jednak dlaczego przy rozpatrywaniu przypadków wybrałeś w 1) (n-1) i w 2) (n+1)

To jest tutaj: Moglibyście mi to wyjaśnić?

PS: wydaje mi się, że zrobiłeś błąd przy rozpatrywaniu gdy n jest równe 0, chyba pominąłeś jedynkę

Dzięki jeszcze raz

Vieshieck,

Przypadek drugi jest nie do końca dobry ... Chociażby dlatego, że otrzymujemy conajmniej iloczyn dwóch liczb, a nie trzech.

Przecież dla p=5 mamy 16, a to przecież czwarta potęga dwójki.

\(\displaystyle{ 3p=(n-1)(n+1)(n^{2}+1)}\)
Ręcznie sprawdzamy przypadek p=2, teraz dla \(\displaystyle{ p \ge 3}\) zapisujemy:
\(\displaystyle{ 1*3*p=(n-1)(n+1)(n^{2}+1)}\)

Dla \(\displaystyle{ n \ge 1 \Rightarrow (n-1)<(n+1)<(n^{2}+1)}\) Stąd:

\(\displaystyle{ \begin{cases} n-1=1 \\ n+1=3 \\ n^{2}+1=p \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ p=5}\) spełnia warunki zadania.