Matematyka.pl

Witam, mam problem z takim zadankiem potrafię dowodzić do pewnego momentu, ale sam nie wiem czy to jest dobrze, ani jak to kontynuować.

Znaleźć wszystkie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p}\) takie, ze \(\displaystyle{ 4p - 1}\) jest sześcianem liczby naturalnej.
-----

Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą, taką że \(\displaystyle{ 4p-1=n ^{3}}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\)

Widać, że liczba \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą nieparzystą. Więc możemy zapisać ją w postaci gdzie tę nieparzystość widać:

\(\displaystyle{ n=2k+1}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \mathbb{N} \cup \{0\}}\)

Liczę dalej:

\(\displaystyle{ 4p-1=(2k+1) ^{3}}\)
\(\displaystyle{ 2p=4k^{3}+6k^{2}+3k+1}\)

dalej nie mam pomysłu...

Wskazówka - zacznij od zapisania równości w postaci:
\(\displaystyle{ 4p=(n+1)(n^2-n+1)}\)
i zastanów się jakie rozkłady na iloczyn dwóch czynników może mieć lewa strona.

Q.

Szczerze mówiąc, nie wiem jakie dobrać dwa te czynniki... żebym coś z tego było widać

Zastanów się więc najpierw jakie dzielniki ma liczba \(\displaystyle{ 4p}\).

Q.

Dzielniki to: 4p, 2p, p. Rozważyłem wszystkie dzielniki i tylko w przypadku \(\displaystyle{ p \cdot 4}\) rozwiązaniem jest liczba pierwsza.

\(\displaystyle{ 4 \cdot p = (n+1)(n^{2}-n+1)}\)

\(\displaystyle{ n+1=4}\)

\(\displaystyle{ n ^{2} -n+1=p}\)
\(\displaystyle{ 3^{2} -3+1=p}\)
\(\displaystyle{ p=7}\)

Dobrze to zrobiłem?