A mógłbym Pan podać przykład jakichś 2 relacji, które nie spełniają tego warunku? Sam nie za bardzo potrafię znaleźć...Jan Kraszewski pisze:Oczywiście nie. Zdefiniowana przez Ciebie relacja \(\displaystyle{ \rho}\) istotnie jest przeciwzwrotna, ale jest dużo innych relacji przeciwzwrotnych, które nie spełniają tego warunku.
JK
Np. relacja pusta albo relacja \(\displaystyle{ <}\) na zbiorze liczb rzeczywistych.stuart3 pisze:A mógłbym Pan podać przykład jakichś 2 relacji, które nie spełniają tego warunku? Sam nie za bardzo potrafię znaleźć...
Używane definicje są na tyle użyteczne i zrozumiałe, że raczej nie używa się innych wersji (choć można je sobie wyobrazić). Co rozumiesz przez "twierdzenia, które dotyczą formułowania definicji relacji"?stuart3 pisze:I jeszcze pytanie: czy istnieje (istnieją?) jakiaś inna definicja relacji przeciwzwrotnej (tzn. równoważna powszechnie przyjmowanej)? I czy rzecz podobnie się ma do innych typów znanych relacji (zwrotnych, przechodnich)? Czy istnieją jakieś twierdzenia, które dotyczą formułowania definicji relacji?
Ok, a jeśli zamiast równoważności (\(\displaystyle{ \forall a,b \in X: a \ \varrho \ b \Leftrightarrow a \not= b}\)) wezmę implikację (\(\displaystyle{ \forall a,b \in X: a \ \varrho \ b \Rightarrow a \not= b}\))? Czy wtedy definicja będzie równoważna? Nie przywykłem jeszcze do języka matematyki wyższej, dopytuję się, żeby zrozumieć interesujące mnie działy.Jan Kraszewski pisze:Np. relacja pusta albo relacja \(\displaystyle{ <}\) na zbiorze liczb rzeczywistych.stuart3 pisze:A mógłbym Pan podać przykład jakichś 2 relacji, które nie spełniają tego warunku? Sam nie za bardzo potrafię znaleźć...
Zauważ, że myśląc o wykresie relacji relacja przeciwzwrotna to taka, która jest rozłączna z przekątną. Relacja przez Ciebie zdefiniowana to relacja, w której są WSZYSTKIE pary poza przekątną, czyli \(\displaystyle{ \rho=x^2 \setminus \Delta}\), gdzie \(\displaystyle{ \Delta=\{(x,x): x\in X\}}\). Jest oczywiście dużo relacji, które są rozłączne z przekątną.
...
JK
Tak (łatwo to zauważyć, stosując zasadę kontrapozycji do Twojej definicji).stuart3 pisze:Ok, a jeśli zamiast równoważności (\(\displaystyle{ \forall a,b \in X: a \ \varrho \ b \Leftrightarrow a \not= b}\)) wezmę implikację (\(\displaystyle{ \forall a,b \in X: a \ \varrho \ b \Rightarrow a \not= b}\))? Czy wtedy definicja będzie równoważna?
Myślę, że w przypadku teorii mnogości zaczynanie od aksjomatów to nie jest dobry pomysł, najpierw dobrze jest nabrać wprawy w naiwnej teorii mnogości (to oficjalna nazwa).stuart3 pisze:I czy może Pan wskazać mi jakąś dobrą książkę dot. relacji (niekoniecznie po polsku, z tego co widzę, lepiej wytłumaczone jest to w książkach po angielsku)? Znam oczywiście podstawy, ale chcę wejść "głębiej". A coś do teorii mnogości w ogólności? I czy istnieje jakaś publikacja, w której są fundamenty matematyki? Mam na myśli takie "Elementy" Euklidesa dla Logiki i Teorii mnogości, czyli od aksjomatów wyprowadzone najważniejsze, fundamentalne twierdzenia/własności/fakty/itd.
Dziękuję za odpowiedź.Jan Kraszewski pisze:Tak (łatwo to zauważyć, stosując zasadę kontrapozycji do Twojej definicji).stuart3 pisze:Ok, a jeśli zamiast równoważności (\(\displaystyle{ \forall a,b \in X: a \ \varrho \ b \Leftrightarrow a \not= b}\)) wezmę implikację (\(\displaystyle{ \forall a,b \in X: a \ \varrho \ b \Rightarrow a \not= b}\))? Czy wtedy definicja będzie równoważna?
Myślę, że w przypadku teorii mnogości zaczynanie od aksjomatów to nie jest dobry pomysł, najpierw dobrze jest nabrać wprawy w naiwnej teorii mnogości (to oficjalna nazwa).stuart3 pisze:I czy może Pan wskazać mi jakąś dobrą książkę dot. relacji (niekoniecznie po polsku, z tego co widzę, lepiej wytłumaczone jest to w książkach po angielsku)? Znam oczywiście podstawy, ale chcę wejść "głębiej". A coś do teorii mnogości w ogólności? I czy istnieje jakaś publikacja, w której są fundamenty matematyki? Mam na myśli takie "Elementy" Euklidesa dla Logiki i Teorii mnogości, czyli od aksjomatów wyprowadzone najważniejsze, fundamentalne twierdzenia/własności/fakty/itd.
Na początek proponuję "Wykłady ze wstępu do matematyki" Guzickiego i Zbierskiego oraz mój "Wstęp do matematyki". Potem można zajrzeć do "Teorii mnogości" Błaszczyka i Turka. Jeżeli koniecznie chcesz po angielsku, to ja bardzo lubię "Discovering Modern Set Theory" Justa i Weesego. Oczywiście, jest też "Set Theory" Jecha, ale zdecydowanie odradzam na początek.
JK
Tego typu dowody pojawiają się zazwyczaj jako ćwiczenia (na zrozumienie definicji) do samodzielnego zrobienia, więc nie sądzę, by w jakimś podręczniku było to specjalnie rozwijane. Trochę tego typu rozumowań jest na https://matematyka.pl, trzeba tylko trochę poszukać. W razie czego zawsze możesz napisać, to sprawdzimy.stuart3 pisze:Mam jeszcze jedno pytanie: gdzie znajdę dowody związane z relacjami? Tzn. mam na myśli np. "pokaż, że złożenie relacji przechodnich/zwrotnych/symetrycznych/itp. jest/nie jest relacją przechodnią/zwrotną/symetryczną/itp." Tego typu, ew. coś z sumami/przekrojami rodzin relacji.
Akurat takie zadania, o jakie pytałeś poprzednio, są dość schematyczne i w pewnym sensie wszystkie robi się tak samo - poprzez zastosowanie definicji (dlatego żadnemu autorowi nie chce się nad nimi specjalnie rozwodzić). Jeżeli chcesz bardziej wyrafinowane zadania, dotyczące relacji równoważności i porządku, to możesz zajrzeć na moją stronę:stuart3 pisze:Zadania z relacji mam właśnie jako zadania na ćwiczenia, robię te zadanka, ale po prostu chcę jak najwięcej zrozumieć i zobaczyć przykłady rozwiązań różnego typu zadań, których np. nie mam na ćwiczeniach. Żałuję, że nie za dużo jest publikacji, w których są jakieś dowody/przykładowe rozwiązania, bo wydaje mi się, że relacje są dosyć istotne w matematyce, tzn. są jednym z wazniejszych "narzędzi" do budowania kolejnych pojęć.
Kod: Zaznacz cały
http://www.math.uni.wroc.pl/~kraszew/