Matematyka.pl

x^4+7x^3-12x^2-176x-320=0
czy ktoś ma pojęcie jako to ugryść. Nie udaje mi sie tego przekształcić ze wzorów skróconego mnożenia użycie zmiennej t też nic nie wyjaśnia

Skorzystaj z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych, albo użyj metody grupowania wyrazów.

Zamykaj wyrażenie w klamrach \(\displaystyle{ .
W tym wypadku spróbuj odgadnąć pierwiastki np. schematem Hornera lub sprawdź czy może da się pogrupować określone wyrazy wielomianu.}\)

Możesz liczyć tak jak napisali poprzednicy albo
możesz rozłożyć te równanie wielomianowe na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych
doprowadzając ten wielomian do postaci różnicy kwadratów
Na forum zdaje się już było to równanie wielomianowe

\(\displaystyle{ x^4+7x^3-12x^2-176x-320=0\\
x^4+7x^3=12x^2+176x+320\\
x^4+7x^3+ \frac{49}{4}x^2 = \frac{97}{4} x^2+176x+320\\
\left( x^2+ \frac{7}{2}x \right)^2 = \frac{97}{4} x^2+176x+320\\
\left( x^2+ \frac{7}{2}x + \frac{y}{2} \right)^2 = \left( y+\frac{97}{4}\right) x^2+\left( \frac{7}{2}y+ 176\right) x+ \frac{y^2}{4}+320\\
\left( \frac{7}{2}y+176 \right)^2=\left( y^2+1280\right)\left( y+ \frac{97}{4} \right)\\
\frac{49}{4}y^2+1232y+30976=y^3+ \frac{97}{4}y^2+1280y +31040\\
y^3+12y^2+48y+64=0\\
\left( y+4\right)^3=0}\)

\(\displaystyle{ \left( x^2+ \frac{7}{2}x-2 \right)^2= \frac{81}{4}x^2+162x+324\\
\left( x^2+ \frac{7}{2}x-2 \right)^2=\left( \frac{9}{2}x+18 \right)^2\\
\left( x^2+ \frac{7}{2}x-2 \right)^2-\left( \frac{9}{2}x+18 \right)^2=0\\
\left( x^2+ \frac{7}{2}x-2+ \frac{9}{2}x+18 \right)\left( x^2+ \frac{7}{2}x-2- \frac{9}{2}x-18 \right)=0\\
\left( x^2+8x+16\right)\left( x^2-x-20\right)=0\\
\left( x+4\right)^3 \left( x-5\right) =0\\}\)

W powyższy sposób możesz rozwiązać każde równanie wielomianowe stopnia czwartego

predrix pisze: Nie udaje mi sie tego przekształcić ze wzorów skróconego mnożenia użycie zmiennej t też nic nie wyjaśnia

To właśnie ze wzorów skróconego mnożenia korzystasz rozwiązując w ten sposób
no i z własności wyróżnika trójmianu kwadratowego