Matematyka.pl

W podręczniku pod tematem dotyczącym wzorów Viete'a pojawiły się takie dwa zadania:

1) Dla jakich a i b liczba -1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x^4+bx^3+2x^2+ax+1}\)?

2) Wyznacz współczynniki a, b, c wielomianu \(\displaystyle{ x^5 - 10x^4 +ax^3 +bx^2 +cx-32}\), wiedząc, że wszystkie jego pierwiastki są liczbami dodatnimi.

Czy mamy prawo rozwiązywać te zadania w oparciu o wzory Viete'a?
W pierwszym zadaniu nie jest powiedziane, że istnieją cztery pierwiastki rzeczywiste danego wielomianu i jeśli zastosujemy wzory Viete'a, to mamy kłopot, bo możliwy jest jeszcze przypadek, gdybyśmy przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ (x+1)^2}\) otrzymali iloraz będący funkcją kwadratową o wyróżniku ujemnym.
Podobnie w drugim zadaniu - nie ma przecież w treści żadnego założenia, że istnieje pięć pierwiastków. Natomiast z tyłu książki rozwiązanie rozpoczyna się zdaniem "Niech liczby dodatnie \(\displaystyle{ x_1, x_2, x_3, x_4, x_5}\) będą pierwiastkami danego wielomianu."

1) wyznacz (a) i (b) jak chcesz, a potem sprawdź czy zajdzie co trzeba (dane tak dobierają, że najczęściej zachodzi).

tranto pisze: Czy mamy prawo rozwiązywać te zadania w oparciu o wzory Viete'a?

piasek101 pisze:1) wyznacz (a) i (b) jak chcesz, a potem sprawdź czy zajdzie co trzeba (dane tak dobierają, że najczęściej zachodzi).

Pytam, czy zasadne jest tutaj użycie wzorów Viete'a? W przypadku ogólnym tego typu zadania mogą przecież nie istnieć cztery pierwiastki (pomimo istnienia dwóch, które są równe), i wtedy korzystanie ze wzorów Viete'a nie ma żadnego sensu?
(Natomiast to samo zadanie można rozwiązać za pomocą schematu Hornera, ale nie w tym rzecz.)

Jak już się bierzemy za cytaty.

to przecież piasek101 pisze:1) wyznacz (a) i (b) jak chcesz ...

Wzory Viete'a przecież się łapią w tę podpowiedź.