Matematyka.pl

Witam
Mam mały problem z obliczeniem sumy takiego szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty} \frac{6}{n!(n+2)}}\)
Mógłbym poprosić o pomoc? Naprawdę naliczyłem się dziś tych przykładów, nie mogę wpaść na to sprytne przekształcenie... \(\displaystyle{ \frac{1}{n!(n+2)}=\frac{n+1}{(n+2)!}}\) ? Coś z tym?

Wiemy, że
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty} \frac{x^{n+2}}{(n+2)!} = e^x-x-1}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty} \frac{x^{n+1}}{(n+2)!} = \frac{e^x}{x}-1-\frac{1}{x}}\)

Jeśli teraz policzymy pochodną obu stron i wstawimy \(\displaystyle{ x=1}\), to otrzymamy dokładnie to o co nam chodzi (nie licząc tej szóstki, która oczywiście nie gra roli).

EDIT: albo o wiele mądrzej:
\(\displaystyle{ \frac{n+1}{(n+2)!}=\frac{1}{(n+1)!}-\frac{1}{(n+2)!}}\)


Q.

Hoho : ) Nie znałem żadnej metody z pochodnymi. Tzn... no ja ten temat przerabiam samodzielnie, stąd może niedoinformowanie. Tak czy siak, bardzo dziękuję za pomoc!

EDIT : Wiedziałem, że coś przeoczyłem... ^^ Dzięki.