Matematyka.pl

a) \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \arcsin \frac{x}{2x+1}}\)

b) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \arctan \frac{1}{x}}\)

z góry dziękuję za pomoc

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \arcsin \frac{x}{2x+1} = \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}}\), bo w przedziale \(\displaystyle{ \left[ - \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]}\) rozpatrujemy (chyba, że powiedziano inaczej).

A w drugim to granica przy \(\displaystyle{ 0}\)?

Więc mamy:
\(\displaystyle{ t= \frac{1}{x}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{t\to\infty} \arctan t= \frac{\pi}{2}}\)

można trochę bardziej łopatologicznie? w drugim przy 0

Jak wyglądają wykresy funkcji \(\displaystyle{ \arcsin}\) i \(\displaystyle{ \arctan}\)?

Jest błąd, ponieważ granice jednostronne są różne, a więc granica w podpunkcie b) nie istnieje.

Mortify pisze:
A w drugim to granica przy \(\displaystyle{ 0}\)?

Więc mamy:
\(\displaystyle{ t= \frac{1}{x}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{t\to\infty} \arctan t= \frac{\pi}{2}}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ x\to 0}\), to nie znaczy, że \(\displaystyle{ \frac{1}{x}\to \infty}\), niestety

I w ten sposób skorygowaliśmy ten błąd, który przetrwał 6 lat.

JK