Matematyka.pl

Dlaczego relacja identyczności jest symetryczna, nie jest zaś antysymetryczna? Czy możecie podać przykłady dowodzące symetryczności tej relacji oraz kontrprzykłady na to, że nie jest antysymetryczna?
Dowodem na symetryczność relacji identyczności też nie pogardzę.

Symetrii nie dowodzi się na przykładach! To własność ogólna.

Przykładem dowodzącym braku antysymetrii (w sensie silnym, oczywiście, bo relacja identyczności jest antysymetryczna w sensie słabym) jest dowolna para \(\displaystyle{ (a,a)}\) (a KAŻDA taka para należy do relacji).

Dowód symetrii - trywialnie z definicji, skoro jedynymi parami w relacji są pary postaci \(\displaystyle{ (a,a)}\). Inny dowód - relacja identyczności to innymi słowy relacja równości. Wystarczy wstawić równość do definicji relacji symetrycznej.

JK

Bardzo dziękuję za odpowiedź.

Czy mógłby Pan wytłumaczyć co znaczy sens silny i słaby?
Jedyną relację identyczności, którą znam, to właśnie równość, np.: a=a.

Dla tego przykładu mamy:
-relację symetryczną czyli relację, dla której dla dowolnego a \(\displaystyle{ a \Re a}\) implikuje \(\displaystyle{ a \Re a}\).
Rozumiem to tak, że a=a implikuje a=a, czyli jest ok.

-relację antysymetryczną, czyli taką, dla której dla dowolnego a, z tego, że \(\displaystyle{ a \Re a}\) i \(\displaystyle{ a \Re a}\) (równoważne), wynika, że a = a, czyli też się zgadza.

Co daje mi powód do myślenia, ze relacja ta jest zarówno symetryczna jak i antysymetryczna. Nie mogę dojść do tego, w którym miejscu źle rozumuję.

Dobrze, teraz już się rozumiemy (są dwa sposoby nazywania relacji antysymetrycznych: antysymetria i asymetria albo, preferowana przeze mnie, słaba i silna antysymetria).

Relacja równości jest zarówno symetryczna, jak i (słabo) antysymetryczna. Tak już po prostu ma i nie jest to żadna sprzeczność.

Jeżeli sprawdzamy warunki, to ja jednak wolałbym tak:
-symetria: dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b}\), jeśli \(\displaystyle{ a=b}\), to \(\displaystyle{ b=a}\).
-antysymetria: dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b}\), jeśli \(\displaystyle{ a=b}\) i \(\displaystyle{ b=a}\), to \(\displaystyle{ a=a}\).

JK

PS. Silna antysymetria (asymetria) relacji \(\displaystyle{ R}\) oznacza, że dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b}\), jeśli \(\displaystyle{ aRb}\), to nieprawda, że \(\displaystyle{ bRa}\).