Matematyka.pl

Witam, mam takie zadanie do domu:
Niech \(\displaystyle{ \Omega = R}\). Podać przykład takich sigma-ciał \(\displaystyle{ R_{1}}\) i \(\displaystyle{ R_{2}}\), aby rodzina \(\displaystyle{ R_{3}=R _{1} \cup R _{2}}\) była sigma-ciałem w\(\displaystyle{ \Omega.}\)

No i na zajęciach zdążyliśmy zrobić takie przykłady:
\(\displaystyle{ R_{1}=R_{2}}\)
\(\displaystyle{ R_{1}=\lbrace \emptyset,X\rbrace}\)
Doszliśmy do wniosku, że zachodzi cos takiego: \(\displaystyle{ R_{1} \subset R_{2} \Rightarrow R_{1} \cup R_{2}}\) i mamy się zastanowić czy zachodzi też w drugą stronę? jeśli nie to podać jakieś 2-3 przykłady dlaczego nie, a jeśli tak , to podać twierdzenie?

Z góry dziękuję za odpowiedzi. Sam nie mogę tego wymyślić, więc proszę o pomoc kogoś bardziej kumatego ode mnie:-)

i jeszcze dodam, ze nie wiem czy w dobry dział, to dałem, bo nie wiedziałem gdzie dodać.

np.
\(\displaystyle{ R_1 =\mathcal{B} (\mathbb{R} )}\) -\(\displaystyle{ \sigma}\)-algebra zbiorów borelowskich na prostej.
\(\displaystyle{ R_2 =2^{\mathbb{R}}}\)

Nie rozumiem:(

matti90 pisze: \(\displaystyle{ R_{1} \subset R_{2} \Rightarrow R_{1} \cup R_{2}}\)

O co tu chodzi?

no, ze jak zachodzi pierwsza część tego(czyli , \(\displaystyle{ R_{1} \subset R_{2}}\)), to zachodzi wtedy prawa czyli \(\displaystyle{ R_{1} \cup R_{2}}\)... nie wiem, po co Ci to tłumaczę, bo pewnie to wiesz, ale inaczej nie jestem Ci w stanie tego napisać... ;d

Dla mnie \(\displaystyle{ R_{1} \cup R_{2}}\) to suma mnogościowa dwóch zbiorów, więc niezbyt rozumiem co ma wyrażać tamta implikacja.

No, jeden pies;d chodzi o to, ze bedzie sigma cialem wtedy:)

matti90 pisze:Nie rozumiem:(

Czego nie rozumiesz? Bierzesz dowolną rodzinę \(\displaystyle{ \mathcal{S}}\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) istnieje wówczas najmniejsze w sensie inkluzji sigma ciało podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych zawierające rodzinę \(\displaystyle{ \mathcal{S}}\) oznaczmy je przez \(\displaystyle{ \sigma (\mathcal{S} )}\) . Jeżeli będziesz miał dużo szczęścia to będzie \(\displaystyle{ \sigma (\mathcal{S} ) \neq 2^{\mathbb{R}}}\) i wówczas jako drugie sigma ciało będziesz mógł wziąc \(\displaystyle{ 2^{\mathbb{R}}}\) (czyli rodzinę wszystkich podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych, która to rodzina z oczywistych względów też jest sigma ciałem). Ja jako \(\displaystyle{ \mathcal{S}}\) przyjąłem rodzinę wszystkich podzbiorów otwartych (w naturalnej topologii) w przestrzeni liczb rzeczywistych i wtedy \(\displaystyle{ \sigma (\mathcal{S} ) =\mathcal{B} (\mathbb{R} ) \neq 2^{\mathbb{R}}}\).

Dzięki za odpowiedzi:) czyli jak to się ma do mojego pytania, zachodzi też w drugą stronę czy nie? czyli czy tylko dla tak dobranych zbiorów \(\displaystyle{ R_{1},R_{2}}\), ze \(\displaystyle{ R_{1} \subset R_{2}}\), ewentualnie odwrotnie, suma utworzona z tych zbiorów będzie sigma ciałem? czy da się jeszcze jakos inaczej dobrac, te zbiory?

nie da sie:
\(\displaystyle{ A\in R_1\setminus R_2}\)
\(\displaystyle{ B\in R_2\setminus R_1}\)
\(\displaystyle{ A\cup B \notin R_1\cup R_2}\)

Zordon czy jesteś w stanie przestawić szkic dowodu?

Tamtego co wyżej nie jestem w stanie udowodnić, bo to fałszywa teza , przepraszam. Musimy założyć, że mamy takie \(\displaystyle{ A,B}\) ale rozłączne.

A no i z tym mogę się zgodzić. Już myślałem, że nastąpił u mnie chwilowy zanik kory mózgowej bo nijak nie mogłem sobie tego wyobrazić