Matematyka.pl

Witam,

Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak trzeba udowodnić, że liczba \(\displaystyle{ \sqrt{7}}\) jest niewymierna?

Napiszę tyle ile potrafię.

Przypuśćmy, że liczba \(\displaystyle{ \sqrt{7}}\) jest liczbą wymierną i da się ją przedstawić w postaci \(\displaystyle{ \frac{m}{n}=\sqrt{7}}\), gdzie \(\displaystyle{ m \wedge n \in N}\) i są względnie pierwsze.

\(\displaystyle{ \sqrt{7} = \frac{m}{n}}\)
\(\displaystyle{ 7n ^{2} =m ^{2}}\)

Potrafię udowodnić to, stosując twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu, ale wiem że istnieje inny i chyba lepszy sposób, proszę o pomoc.

Skoro \(\displaystyle{ 7n^2=m^2}\), to siódemka dzieli lewą stronę, musi więc dzielić też prawą. Stąd \(\displaystyle{ m=7m'}\) i po podstawieniu dostajemy:
\(\displaystyle{ n^2=7m'^2}\)
Analogicznie dostajemy teraz, że \(\displaystyle{ n=7n'}\), a to już sprzeczność z tym, że \(\displaystyle{ m,n}\) miały być względnie pierwsze.

Q.

I taki dowód jest w pełni wystarczalny?