Matematyka.pl

Witam. Mam pewien problem, moze blahy, ale spedza mi sen z powiek wiec szukam odpowiedzi. Mianowicie nie moge dojsc do tego jak WYPROWADZIC wzor na sume n kolejnych wyrazow ciagu geometrycznego.
Moze ktos potrafi mi pomoc, ew. wskazac zrodlo w internecie gdzie takie wyprowadzenie znajde? Bylbym wdzieczny
pozdr.

Pisz konkretne tematy. - gnicz

Odwołuje do podręcznika z matmy do klasy 2 LO

Wiemy, że \(\displaystyle{ S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n}\).
Mnożymy przez q i mamy:
\(\displaystyle{ S_n\cdot q=a_1\cdot q+a_1\cdot q^2+a_1\cdot q^3+...+a_1\cdot q^n}\)
Przekształcamy dodajac \(\displaystyle{ a_1}\) i odejmując \(\displaystyle{ a_1}\) otrzymując:
\(\displaystyle{ S_n\cdot q=a_1+a_1\cdot q+a_1\cdot q^2+a_1\cdot q^3+...+a_1\cdot q(n-1)-a_1+a_1\cdot q^n=S_n-a_1+a_1\cdot q^n}\)

\(\displaystyle{ S_n\cdot q=S_n-a_1+a_1\cdot q^n\\
S_n\cdot q-S_n=a_1(q^n-1)\\
S_n(q-1)=a_1(q^n-1)\\
S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}}\)

I oto wzór jeszcze to można udowodnić indukcyjnie jakby ktoś nie był pewny...

Nie da sie ukryc, w LO unikalem lekcji matematyki, a teraz zaluje

Widze tez, ze zle sie zabieralem do tego wyprowadzania, nie mialem odpowiedniej koncepcji. No to mnie czegos nauczyles, serdecznie dziekuje Ci za pomoc!

Zeby nie zakladac nowego watku, zapytam tu: moze ktos powie mi jak wyprowadzic wzor na sume n poczatkowych wyrazow ciagu arytmetycznego tym razem?
Wyprowadzilem to bardzo lopatologicznie i mi sie to wyprowadzenie nie podoba. Sprowadzilem mianowicie problem do udowodnienia, ze \(\displaystyle{ 2+4+6...+n=n(n+1)}\). Ta ostatnia zaleznosc znalazlem rozpatrujac kilka konkretnych przykladow tego typu ciagu (\(\displaystyle{ 2+4+6+8}\) i \(\displaystyle{ 2+4+6+8+10}\)) i kiedy juz ja mialem, udowodnilem przez indukcje. Po podzieleniu przez \(\displaystyle{ 2}\) moglem wykorzystac ten wzor do wyprowadzenia wzoru na \(\displaystyle{ n}\)-ta sume ciagu arytmetycznego, bo \(\displaystyle{ r}\) (roznica ciagu) zmienia sie tak: \(\displaystyle{ 1r,2r,3r}\) itd. czyli \(\displaystyle{ r\cdot (1+2+3...+(n-1))=r\cdot \frac{(n-1)n}{2}.}\)

Mysle jednak, ze istnieje lepsze wyprowadzenie wzoru na wspomniana sume i chcialbym je poznac.

\(\displaystyle{ a_n= a_1+(n-1)r\\
S_n= a_1+a_2+...+a_n\\
S_n= na_1+r+2r+3r+...+(n-1)r}\)

Ehh i tu byl gdzies taki wzor ze suma liczb naturalnych \(\displaystyle{ 1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}.}\)

Stąd
\(\displaystyle{ S_n=n\left( a_1+\frac{n-1}{2}\cdot r \right) =n\left( a_1+\frac{a_n-a_1}{2}\right)=\frac{n}{2}\cdot(a_n+a_1)}\)


...

Dzieki, ale tyle wlasnie wiem (nawet napisalem powyzej, moze troche zawile). Pytanie: skad bierze sie ten wzor na sume \(\displaystyle{ 1+2+3+4+...+n}\) bo to przeciez tez ciag arytmetyczny (wiec wyprowadzamy wzor na sume znajac juz wzor na sume ciagu arytmetycznego o \(\displaystyle{ r=1}\) - maslo maslane).

Ja ten wzor wyprowadzilem lopatologicznie, bo dal sie zauwazyc np. tak:

\(\displaystyle{ 2+4+6+8=20}\)

mamy tu \(\displaystyle{ n=4}\) wyrazy, czyli wynik mozna zapisac jako \(\displaystyle{ 4\cdot 5}\). Zauwazamy, ze to tyle:

\(\displaystyle{ n\cdot (n+1)}\)

Mozna rozwazyc jeszcze kilka przykladow,za kazdym razem wychodzi to samo. Trzeba tylko dowiesc indukcyjnie ze to prawda.

Nastepnie wystarczy teraz podzielic przez dwa (bo mamy podwojona sume na razie) i otrzymamy wzor na \(\displaystyle{ 1+2+3+4}\).

W ten sposob wyprowadzilismy czy raczej - zauwazylismy wzor na sume ciagu arytmetycznego o \(\displaystyle{ r=1}\). Z tego miejsca oczywiscie wyprowadzimy wzor na sume dla kazdego innego \(\displaystyle{ r.}\) Ale jak ladnie wyprowadzic ten potrzebny wzor na sume \(\displaystyle{ 1+2+3+4+...+n}\)? Tego wlasnie nie wiem, a nie podoba mi sie sposob w jaki do tego doszedlem

no jak znajdujesz jakis wzor za pomocą rozwazania roznych \(\displaystyle{ n}\) a potem dowodzisz go indukcyjnie i wychodzi to powinno być dobrze ... ale mozna tak chyba tez:
\(\displaystyle{ 1+2+3+4+5+6+7+...+n\\
1+n+2+n-1+3+n-2+...=n+1+n+1+n+1+n+1...=\frac{n\cdot n+n}{2}=\frac{n\cdot(n+1)}{2}}\)

Nie wiem, czy o to Ci chodzilo, ale jest taki znany sposob:
\(\displaystyle{ S_n = 1+2+...+(n-1)+n}\)
Zapisujemy to "w druga strone"
\(\displaystyle{ S_n = n+(n-1)+...+2+1}\)
I dodajemy stronami:
\(\displaystyle{ 2S_n = (n+1) + (n-1+2)+...}\) itd.
Otrzymujemy sume \(\displaystyle{ n}\) nawiasow \(\displaystyle{ (n+1)}\)
\(\displaystyle{ 2S_n = n\cdot(n+1)
S_n = \frac{n\cdot(n+1)}{2}}\)

Ostatni wzór podaną metodą w wieku jeszcze nastoletnim wykombinował Gauss ... no i jak sie okazało miał chłopak pikną koncepcję bo wyrażenie w nawiasie \(\displaystyle{ ( 1 + n )}\) to \(\displaystyle{ (a_1 + a_n)}\) ... od szczegółu do ogółu ...

Przerażają mnie ludzie którzy tworzyli tą dziedzinę ... sami hardcorowcy ;D

zanim sie zada pytanie warto uzyc wyszukiwarki na forum

Dokladnie o wyprowadzenie tego wzoru mi chodzilo.

Dziekuje Wam za pomoc

No i obiecuje, ze nastepnym razem przed postawieniem pytania przeszukam forum