Matematyka.pl

Dla jakich wartości parametru p równanie \(\displaystyle{ x^4+(p+1)x^2+p^2-1=0}\) ma dokładnie dwa rozwiązania?

Za x^2 możemy dac sobie t i tutaj przestaję rozumieć. Mianowicie według tego co mam zapisane musi zajść:
\(\displaystyle{ \begin{cases} delta>0 \\ t _{1} t_{2}<0 \end{cases}}\)

Dlaczego iloczyn pierwiastków musi być mniejszy od zera?

ponieważ jeden z pierwiastków równania po t będzie mniejszy zero, gdzie \(\displaystyle{ t=x^{2}}\) więc wychodzaż ci równania typu \(\displaystyle{ x^{2}= 16 lub x^{2}= -13}\) drugie równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, ięc w grę wchodzi tylko to pierwsze, które ma dwa rozwiązania, co jest zgodne z zadaniem

Ale skąd wiem, że jeden z pierwiastków będzie mniejszy od zera? Dlaczego oba nie mogą być większe albo oba mniejsze?

No to rozwiąż sobie przykładowe równanie gdy obydwa pierwiastki są większe od zera:
\(\displaystyle{ x^4-5x^2+4=0}\)
gdy są mniejsze:
\(\displaystyle{ x^4+5x^2+4=0}\)
oraz gdy jeden pierwiastek jest mniejszy,a drugi większy od zera:
\(\displaystyle{ x^4+3x^2-4=0}\)
(mówiąc o pierwiastkach mówię o rozwiązaniach tych równań \(\displaystyle{ t _{1}, t _{2}}\) po podstawieniu \(\displaystyle{ t=x^2}\))