Matematyka.pl

sprawdzić czy działanie o jest działaniem wewnetrznym w zbiorze A gdy
\(\displaystyle{ aob =ab +a +b}\) \(\displaystyle{ A=(-1; \infty)}\)


jak się to udowadnia?

Jeśli \(\displaystyle{ a>-1}\) ,\(\displaystyle{ b>-1}\) , to \(\displaystyle{ ab+a+b+1=(a+1)(b+1)>0}\)

a czemu do wzoru ab+a+b dodajemy 1???

Ponieważ z nierówności \(\displaystyle{ ab +a +b +1>0}\) wynika , że \(\displaystyle{ ab +a +b>-1}\) czyli \(\displaystyle{ a\circ b \in (-1, +\infty )}\) czyli działanie \(\displaystyle{ \circ}\) jest wewnętrzne.

yhhmm czyli analogicznie można zrobic zadanie takie : \(\displaystyle{ aob = ab+2a +2b +2}\) gdzie \(\displaystyle{ A-(-2; \infty )}\)

i wychodzi juz w skrócie \(\displaystyle{ (b+2)(a+2)>0}\) czyli równiez jest to działenie wewnetrzne

a co z takim przypadkiem jesli mam zbiór \(\displaystyle{ A=R \setminus {1}}\)???

W tym przypadku, tzn. gdy mamy \(\displaystyle{ (A, o):A=R \setminus \left\{ 1\right\}}\), działanie \(\displaystyle{ o}\) nie jest wewnętrzne, bo przykładowo biorąc \(\displaystyle{ a=-3}\) i \(\displaystyle{ b=-5}\) otrzymamy w wyniku działania \(\displaystyle{ a o b = ab +2a +2b +2 = 15 -6 -10 + 2 = 1}\), czyli wychodzimy poza zbiór \(\displaystyle{ A}\).