Matematyka.pl

Czy iloczyn (suma, różnica) dwóch figur wypukłych jest (może być, nie może być) figurą wypukłą? Sformułuj analogiczne twierdzenia o trzech figurach wypukłych. Uogólnij ( i udowodnij) otrzymane twierdzenie na przypadek \(\displaystyle{ n}\) figur (\(\displaystyle{ n>1}\)).

Dla wszystkiego poza iloczynem pasuje jeden kontrprzykład- dwa częściowo nachodzące na siebie koła- uogólnienie też jest w oczywisty sposób nieprawdziwe.

Natomiast iloczyn figur wypukłych jest wypukły- dowodzi się przez indukcje po liczbie zbiorów, a przypadek dla dwóch zbiorów przez sprzeczność (bierzemy dwa punkty, zakładamy, że jakiś punkt z wyznaczonego przez nie odcinka nie należy do przekroju, czyli nie należy do żadnej z figur składającej się na przekrój, co stoi w sprzeczności z ich wypukłością).

iloczyn figur wypukłych jest wypukły- dowodzi się przez
indukcje po liczbie zbiorów
tzn

Jeżeli już wiemy, że iloczyn dwóch jest wypukły to idzie bardzo prosto. Przypuśćmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ n\geq 2}\) iloczyn \(\displaystyle{ n}\) figur wypukłych jest wypukły. Weźmy teraz dowolne \(\displaystyle{ n+1}\) figur wypukłych. Wówczas z założenia indukcyjnego iloczyn pewnych \(\displaystyle{ n}\) z nich jest figurą wypukłą, czyli cały iloczyn jest iloczynem dwóch figur wypukłych, czyli figurą wypukłą.

jak zapisac to w sposób matematyczny?

Pytanie co rozumiesz przez matematyczny sposób Dodanie jakiś matematycznych znaczków nie sprawi, że jakość tego rozumowania się poprawi. Od dowodów nie wymaga się (chyba) niczego poza stosowaniem wyłącznie przyjętych reguł wnioskowania, oraz wykorzystywania jedynie uprzednio dowiedzionych twierdzeń oraz pewników. Oczywiście możesz napisać wielkimi literami "Pierwszy Krok Indukcyjny:" w linijkę niżej napisać "n=2 OK" ale ja nie widzę w tym większego sensu.