Udowodnij, że pierwiastek z 2 + pierwiastek z 3 jest liczbą.
: 11 paź 2010, o 19:21
Udowodnij, że \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) + \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) jest liczbą niewymierną.
Dowód nie wprost
Załóżmy że ta suma jest wymierna, wtedy możemy ją zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych
\(\displaystyle{ \sqrt{2}+\sqrt{3}=\frac{p}{q}}\)
Podnosimy do kwadratu
\(\displaystyle{ 2+3-2\sqrt{6}=\frac{p^{2}}{q^{2}}}\)
Przekształcamy:
\(\displaystyle{ \sqrt{6}=\frac{p^{2}-5q^{2}}{2q^{2}}}\)
Oczywiście pierwiastek kwadratowy z 6 jest niewymierny ( można tego dowieść analogicznym sposobem), natomiast po prawej stronie mamy, zgodnie z założeniami dowodu, liczbę wymierną.
Doszliśmy do sprzeczności, nasze założenie:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}+\sqrt{3} \in W}\)
jest błędne, gdyż prowadzi do fałszywych wniosków.