Matematyka.pl

Wykazać, że suma wszystkich rozwiązań równania \(\displaystyle{ z^{17}=\overline{z}}\) jest równa 0.

Przydałaby mi się jakaś wskazówka, czy może jakaś własność której mógłbym tu użyć

Oczywiście jednym z rozwiązań jest \(\displaystyle{ z=0}\). Znajdźmy sumę pozostałych. Nietrudno zauważyć, że jeśli \(\displaystyle{ z}\) jest rozwiązaniem, to \(\displaystyle{ |z|=1}\). Jeśli więc przemnożymy równanie stronami przez \(\displaystyle{ z}\), to otrzymamy równoważnie: \(\displaystyle{ z^{18}=1}\). Wykazanie, że suma rozwiązań tego równania jest równa zero nie jest już trudne - można skorzystać np. z wzorów Viete'a lub z interpretacji geometrycznej.

Q.

Dziękuję za pomoc, udało się udowodnić
Temat do zamknięcia