Strona 1 z 1
Rozłożenie wielomianu na czynniki
: 10 paź 2010, o 18:15
autor: nikimon
Witam!
Nie mogę sobie poradzić z rozłożeniem tego wielomianu na czynniki:
\(\displaystyle{ W(x) = x ^{4} -3x ^{2} +9}\)
Dochodzę do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ W(x) = x ^{4} -3x ^{2} +9 = (x ^{2} -3) ^{2}+3x ^{2}}\)
Co dalej?
Rozłożenie wielomianu na czynniki
: 10 paź 2010, o 18:25
autor: ?ntegral
Twierdzenie:
Każdy wielomian można rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej drugiego.
Zatem:
\(\displaystyle{ W(x)=x^4-3x^2+9=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)}\)
Wymnożyć, porównać współczynniki i wyjdzie.
\(\displaystyle{ y=(x^2-3x+3)(x^2+3x+3)}\)
Rozłożenie wielomianu na czynniki
: 10 paź 2010, o 18:26
autor: Mariusz M
\(\displaystyle{ W(x) = x ^{4} -3x ^{2} +9}\)
No jak tak to rozłożysz to będziesz miała zespolone
Ja proponuję to rozłożyć trochę inaczej
\(\displaystyle{ x ^{4} -3x ^{2} +9=0\\
x^{4}=3x^{2}-9\\
\left( x^2+ \frac{y}{2} \right)^2=\left( y+3\right)x^2+ \frac{y^2}{4}-9\\
\left( y^2-36\right)\left( y+3\right)=0\\
\left( y-6 \right)\left( y+6\right)\left( y+3\right)=0\\
\left( x^2+3\right)^2=9x^2\\
\left( x^2-3x+3\right) \left( x^2+3x+3\right)=0}\)
Rozłożenie wielomianu na czynniki
: 10 paź 2010, o 18:27
autor: ares41
\(\displaystyle{ W(x) = x ^{4} -3x ^{2} +9 = (x ^{2} +3) ^{2}-9x ^{2}}\)
Rozłożenie wielomianu na czynniki
: 10 paź 2010, o 18:37
autor: nikimon
Chyba jestem już zmęczona, ale nie rozumiem, jak z tego:
\(\displaystyle{ W(x)=x^4-3x^2+9=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)}\)
powstaje to:\(\displaystyle{ y=(x^2-3x+3)(x^2+3x+3)}\)
Rozłożenie wielomianu na czynniki
: 10 paź 2010, o 18:41
autor: piasek101
W tej metodzie (widząc 9) od razu zakładam \(\displaystyle{ b = d = 3}\).
Trzeba pomnożyć to na prawej i porównać współczynniki z tym na lewej.
Rozłożenie wielomianu na czynniki
: 10 paź 2010, o 18:44
autor: nikimon
Ok, dzięki, popróbuję jeszcze na innych przykładach tego typu
Rozłożenie wielomianu na czynniki
: 10 paź 2010, o 18:48
autor: ?ntegral
W drugim poście napisałem jasno i wyraźnie:
Wymnożyć, porównać współczynniki i wyjdzie.
\(\displaystyle{ W(x)=x^4-3x^2+9=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+(a+c)x^3+(b+d+ac)x^2+(ad+bc)x+bd}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+c=0 \\ b+d+ac=-3 \\ ad+bc=0 \\ bd=9 \end{cases}}\)
Rozłożenie wielomianu na czynniki
: 10 paź 2010, o 18:52
autor: piasek101
Dokładaj to co podałem - dużo szybciej idzie.
Rozłożenie wielomianu na czynniki
: 10 paź 2010, o 19:02
autor: ?ntegral
piasek101, racja. Dopiero teraz to zauważyłem.