Matematyka.pl

Mam dwa zadania:

1. pokazać, że \(\displaystyle{ q(x,y)= \sqrt{(x _{1}-y_{1}) ^{2}+(x_{2}-y_{2}) ^{2} }}\) dla \(\displaystyle{ x=(x_{1}, x_{2})}\), \(\displaystyle{ y=(y_{1}, y_{2})}\) jest metryka.

2. \(\displaystyle{ q(x,y)=max\left\{ \left| x_{1}-y_{1}\right|, \left| x_{2}-y_{2}\right| \right\}}\) dla x i y takich samych jak wyżej jest mertyka.

Własność symetrii udało mi się pokazać, ale tożsamości i warunku trójkąta już nie. Kompletnie nie wiem, jak to udowodnic. Proszę o pomoc.

Dla udowodnienia nierówności trójkąta w 1. poszukaj tzw. nierówności Cauchy'ego-Buniakowaskiego-Schwarza. W 2. korzystasz z nierówności trójkąta \(\displaystyle{ |a+b|\leqslant |a|+|b|}\) oraz z własności maksimum. Możesz np. wyznaczyć analitycznie maksimum dwóch liczb:

\(\displaystyle{ \max\{a,b\}=\frac{a+b+|a-b|}{2}}\)

Wtedy łatwiej skorzystasz z pow. nierówności trójkąta, bez odwoływania się do własności maksimum.

A to co nazywasz tożsamością, czyli zerowaniem się tylko na równych elementach? To przecież trywialne.

PS. Teraz takie zadania robi się na topologii? Ja to miałem na analizie II na I roku tylko dlatego, że wykład z analizy nie zaczynał się od razu od przestrzeni metrycznych. Chociaż niektórzy wykładowcy preferują wprowadzenie zaraz na początku tych przestrzeni. Przyznam, że nie jest to udany pomysł.

Ja mam to teraz na analizie II