Matematyka.pl

Rozwinac funkcje \(\displaystyle{ f(x) = cos(ax)}\) dla \(\displaystyle{ |x| \le \pi}\) gdzie a nie jest liczba calkowita

poniewaz funkcja jest parzysta korzystam ze wzoru

\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}cosax\cdot cosnxdx= (*)}\)

korzystam ze wzorum

\(\displaystyle{ cosx\cdot cosy= \frac{cos(x-y)+cos(x+y)}{2}}\)

\(\displaystyle{ (*)= \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}cos(ax-nx)dx+\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}cos(ax+nx)dx=
\frac{1}{\pi}[\frac{sin(ax-nx)}{a-n}]_{0}^{\pi}+\frac{1}{\pi}[\frac{sin(ax+nx)}{a+n}]_{0}^{\pi}}\)

nie umiem sobie poradzic z koncowka....jesli wstawimy zero to bedzie zero dla obu wyrazow. Co sie stanie jesli wstawimy \(\displaystyle{ \pi}\) ?

\(\displaystyle{ \frac{1}{\pi}[\frac{sin(ax-nx)}{a-n}]_{0}^{\pi}+\frac{1}{\pi}[\frac{sin(ax+nx)}{a+n}]_{0}^{\pi}=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{a-n}(sin(a\pi-n\pi)-sin(0))+\frac{1}{a+n}(sin(a\pi+n\pi)-sin(0)))=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{a-n}sin(a\pi-n\pi)+\frac{1}{a+n}sin(a\pi+n\pi))}\)

Teraz skorzystaj z \(\displaystyle{ \sin(x\pm y)=\sin x \cos y\pm \cos x\sin y}\), pamiętając, że \(\displaystyle{ \sin(n\pi)=0}\), \(\displaystyle{ \cos (n\pi)=(-1)^n}\).