Matematyka.pl

Witam. Mam problem z rozwiązaniem zadania na określenie liczby rozwiązań w zalezności od parametru \(\displaystyle{ a}\). Udało mi się określić 4,2 i 0 rozwiązań, ale nie wiem jak zrobić to dla 1 i 3... Proszę o pomoc, jeżeli ktoś ma jakiś pomysł...

To właśnie ten przykład :
\(\displaystyle{ x^4 + (1-2a)x^2 + a^2-1 = 0}\)

Nie wiem jak sie koduje potęgi, więc wybaczcie taki zapis )

Z góry dziękuję za pomoc, czekam na odpowiedź.

Podstawiasz \(\displaystyle{ x^2=t}\) i masz zwykłe równanie kwadratowe.

Tylko że to nie jest takie proste. Jest kilka warunków, które musi być spełnione dla 1 i 3 rozwiązań i nie jestem w stanie wszystkich tych warunków spełnić.

Żeby były 3 rozwiązania musi być spełnione
\(\displaystyle{ t_1>0 \wedge t_2=0}\)
Żeby było jedno rozwiązanie musi być
\(\displaystyle{ t_1<0 \wedge t_2=0}\)

A jak mam wyczarować to, że \(\displaystyle{ t_{2}= 0}\), a \(\displaystyle{ t_{1}<0}\) ? Przecież nie policzę konkretnej \(\displaystyle{ \Delta}\) ....

Wzory Viete'a

A może jakoś konkretniej ? Próbowałam wzorami, przydały się przy innych odpowiedziach, ale tutaj nie wiem jak je zastosować.

Za \(\displaystyle{ x^{2}}\) podstawiamy \(\displaystyle{ t, t \ge 0}\); otrzymujemy równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ t^{2} +(1-2a)t+ a^{2} -1=0}\)
Obliczamy \(\displaystyle{ \Delta}\), mi wyszło \(\displaystyle{ 5-4a}\)
1) dla \(\displaystyle{ \Delta =0; a= \frac{5}{4} ; t= \frac{3}{4} ; x_{1} = \frac{ \sqrt{3} }{2} ; x_{2} = \frac{- \sqrt{3} }{2}}\) ; mamy dwa rozwiązania
2) dla \(\displaystyle{ \Delta < 0}\) czyli dla \(\displaystyle{ a> \frac{5}{4}}\); nie ma rozwiązań
3) \(\displaystyle{ t \ge 0}\) więc z wzorów Viete'a suma i iloczyn pierwiastków ma być nieujemna.
z tych warunków wyszło mi \(\displaystyle{ a \ge 1}\)
dla \(\displaystyle{ t=0, a=1}\), równanie ma trzy rozwiązania \(\displaystyle{ (0, 1, -1)}\)
dla \(\displaystyle{ t>0}\) i \(\displaystyle{ \Delta >0}\) czyli dla \(\displaystyle{ 1<a< \frac{5}{4}}\) równanie ma cztery rozwiązania
4) dla \(\displaystyle{ a <1}\) nie ma rozwiazań
Moim zdaniem nie ma przypadku jednego rozwiazania

abc666 pisze: Żeby było jedno rozwiązanie musi być
\(\displaystyle{ t_1<0 \wedge t_2=0}\)

Dla wielomianów postaci \(\displaystyle{ ax^4+bx^2+c}\) jeszcze wchodzi w gre \(\displaystyle{ t_1=t_2=0}\) ale to w bardzo szczególnych przypadkach, który jednak trzeba sprawdzić

Mixture: aby istniał choć jeden pierwiastek w zerze (x=0) to wyraz wolny MUSI równać się zero. Jeśli w konkretnym przykładzie jest to niemożliwe to nie ma takiej sytuacji.

Ok, wszystko już wiem. Wyszło wszystko ładnie, znalazłam też przypadek z 1 rozwiązaniem, zgadza się z tym, co mam podane w książce w odpowiedziach, więc jest ok.

Dziękuję wszystkim za pomoc !