Matematyka.pl

Dlaczego przedziałów monotoniczności nie można zapisać w postaci sumy zbiorów? Tzn. dlaczego np. dla funkcji \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\)pisze się f. malejąca dla \(\displaystyle{ x\in(-\infty;0)}\) i \(\displaystyle{ x\in(0;\infty)}\) a nie \(\displaystyle{ (-\infty;0) \cup(0; \infty)}\)? Z góry dziękuję za odpowiedzi.

Bo nie będzie na tym zbiorze spełnione (np dla malejącej)
\(\displaystyle{ x_1<x_2 \Longrightarrow f(x_1) > f(x_2)}\)

Przykład wystarczy wziąć \(\displaystyle{ x_1=-1, x_2=\frac{1}{2}}\)

Wszystko to bierze się z nieciągłości tej funkcji w zerze.

Podłączę się do tematu:

W kilku miejscach przy sytuacji, że funkcja jest malejąca w przedziale A i w przedziale B widzę zapis ( przykładowo ):

f. malejąca dla \(\displaystyle{ x \in (0,3) }\) i \(\displaystyle{ x \in (10,20)}\)

Czy można zamiast "i" użyć \(\displaystyle{ \wedge }\) ? Wydaje mi się, że jest to to samo, ale jednak wszędzie widzi się tą pierwszą opcję.


I drugie pytanie: niezależnie, czy poprawne jest "i", czy \(\displaystyle{ \wedge }\) , a może i nawet oba to czy taki zapis jak

f. malejąca dla \(\displaystyle{ x \in (0,3) }\) i \(\displaystyle{ x \in (10,20)}\)

nie oznacza, że chcemy jednocześnie, aby x należał do jednego i do drugiego przedziału, a jest to niemożliwe, bo nie ma takiego x-a?

tomnow pisze: ↑22 mar 2021, o 22:01 f. malejąca dla \(\displaystyle{ x \in (0,3) }\) i \(\displaystyle{ x \in (10,20)}\)

Czy można zamiast "i" użyć \(\displaystyle{ \wedge }\) ?

Nie bardzo. Jeżeli zastąpisz "i" przez \(\displaystyle{ \wedge }\), to dostaniesz paskudną hybrydę języka polskiego z językiem symbolicznym, która w dodatku będzie wątpliwa, bo zapis \(\displaystyle{ x \in (0,3) \land x \in (10,20)}\) mocno sugeruje przekrój zbiorów.

tomnow pisze: ↑22 mar 2021, o 22:01I drugie pytanie: niezależnie, czy poprawne jest "i", czy \(\displaystyle{ \wedge }\) , a może i nawet oba to czy taki zapis jak

f. malejąca dla \(\displaystyle{ x \in (0,3) }\) i \(\displaystyle{ x \in (10,20)}\)

nie oznacza, że chcemy jednocześnie, aby x należał do jednego i do drugiego przedziału, a jest to niemożliwe, bo nie ma takiego x-a?

Raczej nie (zdroworozsądkowa interpretacja), ale lepiej byłoby napisać

f. malejąca dla \(\displaystyle{ x \in (0,3) }\) i dla \(\displaystyle{ x \in (10,20)}\).

A tak naprawdę to powinno być napisane

f. malejąca na przedziale \(\displaystyle{ (0,3) }\) i na przedziale \(\displaystyle{ (10,20)}\)

- dodawanie tego "\(\displaystyle{ x\in}\)" to jakaś dziwna szkolna maniera (dziwna zwłaszcza w tym kontekście, bo monotoniczność nie zależy od pojedynczych argumentów).

JK