Matematyka.pl

Witam. Mam takie zadanko.
Znajdź w dziedzinie zespolonej pierwiastki wielomianu.
W(z) = \(\displaystyle{ z^{4} - 3z^{3} + 4z^{2} - 6z + 4}\)
Bardzo prosze o pomoc w rozwiązaniu. Czy prawdziwe jest tu założenie tak jak przy pierwiastkiach całkowitych, że możliwe pierwiastki to podzielniki wyrazu wolnego?

daktor pisze:Czy prawdziwe jest tu założenie tak jak przy pierwiastkiach całkowitych, że możliwe pierwiastki to podzielniki wyrazu wolnego?

tak,dopóki mówimy o pierwiastkach rzeczywistych.bo w zespolonych trzeba "dodac" i oraz -i. przykład: jeśli w rzeczywistyh mozlie sa: 1 lub -1 lub 2 lub -2, to w zespolonych: 1,-1,2,-2,i,-i,2i,-2i.

W(1) = 0
\(\displaystyle{ (z^{4} - 3z^{3} + 4z^{2} - 6z + 4):(z-1) = z^{3} - 2z^{2} + 2z - 4}\)
W1(2)=0
\(\displaystyle{ (z^{3} - 2z^{2} + 2z - 4):(z-2) = z^{2} + 2}\)
\(\displaystyle{ z^{2}+2}\) delta=-8 = \(\displaystyle{ 8i^{2}}\)
z=-√2i lub z=√2i
czyli wszystkie pierwiastki to: {1,2,2i,-2i}

Super, bardzo dziękuje.
Mam jeszcze tylko jedną wątpliwość. Czy delta z \(\displaystyle{ z^2+2}\) to czasem nie \(\displaystyle{ -8}\) bo nie wiem skąd wzięło się to -16 . I wtedy \(\displaystyle{ z=\sqrt{2}i}\) lub \(\displaystyle{ z=-\sqrt{2}i}\)?

nawet bez delty
\(\displaystyle{ z^{2}=-2\\
z=\sqrt{-2}\;\vee\; z=-\sqrt{-2}\\
z=\sqrt{2}i\;\vee\; z=-\sqrt{2}i}\)

no jasne ze -8. niew eim o czym myślalam jak pisalam -16. oczywiście ze tak. już poprawiam:)