Matematyka.pl

Wyznacz takie \(\displaystyle{ n}\), dla którego w zbiorze liczb naturalnych od \(\displaystyle{ n}\) do \(\displaystyle{ n+29}\) jest najwięcej liczb pierwszych.
Na logikę to dość oczywiste, że będzie to zbiór od \(\displaystyle{ 2}\) do \(\displaystyle{ 31}\). Ale jak to formalnie udowodnić, czyli inaczej -> jak formalnie udowodnić że im większe liczby, tym rzadziej występują wśród nich liczby pierwsze?

Można by zacząc tak:
Zbiór liczb pierwszych (aby sobie ułatwić) = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,...}

Niech \(\displaystyle{ f(n)}\) oznacza ilość liczb pierwszych w przedziale \(\displaystyle{ <n ; n+29>}\)

\(\displaystyle{ n=0 \rightarrow f(0) = 10 \\
n=1 \rightarrow f(1) = 10 \\
n=2 \rightarrow f(2) = 11}\)

Mamy w tej chwili górne ograniczenie \(\displaystyle{ f_{max}=11}\)
\(\displaystyle{ n=3 \rightarrow f(3) = 10}\)
Dla każdego \(\displaystyle{ n \ge 4}\) mamy przedział \(\displaystyle{ <n ; n+29>}\) czyli 30 liczb
- połowa jest parzysta więc zostaje 15
- jest 10 liczb podzielnych przez 3, ale połowa z nich jest parzysta, więc jest 5 liczb nieparzystych podzielnych przez 3. Odrzucamy je i juz zostaje tylko 10 liczb. A \(\displaystyle{ f(2)=11}\)