Matematyka.pl

w trojkacie prostokatnym ABC dwusieczna kata prostego przecina przeciwprostokatna BC w punkcie D. wykaz ze \(\displaystyle{ \frac{1}{BD^{2}} + \frac{1}{CD^{2}} = \frac{2}{AD^{2}}}\)

glupio sie przyznac ale zacialem sie na czyms takim.

obiezmy pkt X i odcinek DX taki ze:



widac ze |DX|=|BD|

z podobienstwa trujkatow(zielonego i czerwonego):
\(\displaystyle{ \frac{|BD|}{a}=\frac{|XC|}{|CD|}}\)

\(\displaystyle{ |XC|=\sqrt{|BD|^{2}+|CD|^{2}}}\) ( bo |DX|=|BD|)

\(\displaystyle{ |AD|=a\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ a=\frac{|AD|}{\sqrt{2}}}\)

czyli mamy:
\(\displaystyle{ \frac{|BD|}{a}=\frac{|XC|}{|CD|}}\)

\(\displaystyle{ \frac{|BD|}{\frac{|AD|}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{|BD|^{2}+|CD|^{2}}}{|CD|}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{|BD|^{2}+|CD|^{2}}}{|BD|*|CD|}=\frac{\sqrt{2}}{|AD|}}\)

podnosimy do kwadratu

\(\displaystyle{ \frac{|BD|^{2}+|CD|^{2}}{|BD|^{2}*|CD|^{2}}=\frac{2}{|AD|^{2}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{|BD|^{2}}{|BD|^{2}*|CD|^{2}}+\frac{|CD|^{2}}{|BD|^{2}*|CD|^{2}}=\frac{2}{|AD|^{2}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{|CD|^{2}}+\frac{1}{|BD|^{2}}=\frac{2}{|AD|^{2}}}\)