Matematyka.pl

dana jest funkcja z gdzie a i b to stale
\(\displaystyle{ z=(\frac{V-Nb}{N})^{N}(\frac{mk_{B}T}{2\pi\hbar^2})^{\frac{3N}{2}}e^{{\frac{N^2a^2}{Vk_{B}T}}}\)

obliczam logarytm z funkcji

\(\displaystyle{ lnz= Nln(\frac{V-Nb}{N})+\frac{3N}{2}ln(\frac{mk_{B}T}{2\pi\hbar^2})+\frac{N^2a^2}{Vk_{B}T}}}\)
nastepnie mam do policzenia pochodne

\(\displaystyle{ U=-\frac{\partial lnz}{\partial \beta}= \frac{3N}{2}{\frac{1}{\frac{mk_{B}T}{2\pi\hbar^2}}\cdot\frac{mk_{B}T}{2\pi\hbar^2}}\)
\(\displaystyle{ \beta=\frac{1}{k_{B}T}}\)
dostaje
\(\displaystyle{ \frac{3}{2}Nk_{B}T}\)
ale nie wiem czy to poprawnie jest bo znika gdzies minuk ktory byl przed pochodna we wzorze na U


z ta pochodna mam rowniez problem z policzeniem
\(\displaystyle{ \frac{1}{\beta}\frac{\partial lnz}{\partial V}= -\frac{N_{b}}{V-N_{B}}}\)


czy ktos mi moze pokazac jak to obliczyc?

\(\displaystyle{ lnz= Nln(\frac{V-Nb}{N})+\frac{3N}{2}ln(\frac{mk_{B}T}{2\pi\hbar^2})+\frac{N^2a^2}{Vk_{B}T}}}\)
\(\displaystyle{ \beta=\frac{1}{k_{B}T}}\)
\(\displaystyle{ \ln z= Nln\left(\frac{V Nb}{N}\right)+\frac{3N}{2}ln\left(\frac{m}{2\pi\hbar^2 \beta}\right)+ \frac{N^2a^2 \beta}{V}}}\)
Według mnie to będzie wyglądać tak:
\(\displaystyle{ \frac{\partial \ln z}{\partial \beta}=\frac{3N}{2} \cdot \frac{2\pi \hbar^2}{m} \cdot \frac{m}{2 \pi \hbar^2} \cdot \frac{-1}{\beta^2}+\frac{N^2a^2}{V}=\frac{-3N}{2\beta^2}+\frac{N^2a^2}{V}=\frac{-3NV+N^2a^2 \cdot 2\beta^2}{2\beta^2V}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ U=\frac{3NV-2N^2a^2\beta^2}{2\beta^2V}}\)