Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \alpha , \beta\in\mathbb{R}}\), \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\), tak?

Tak. I przy okazji pytanie dodatkowe : kiedy ma miejsce równośc....?!

Gdy prawa strona się zeruje, to lewa również, więc wtedy nierówność zachodzi. Dodatkowo lewa strona zeruje się częściej i wtedy również nierówność zachodzi. Od teraz przyjmuję, że obie strony są niezerowe. Przedstawiam nierówność w tej postaci:
\(\displaystyle{ \left| \frac{cos (n\alpha) - cos(n\beta)}{cos\alpha - cos\beta} \right| \leqslant n^2}\)
Lewa strona na mocy twierdzenia Cauchy'ego o wartości średniej jest równa:
\(\displaystyle{ \left| \frac{cos (n\alpha) - cos(n\beta)}{cos\alpha - cos\beta} \right| = \left| \frac{nsin(nx)}{sinx}\right| \\
x \in (\alpha, \beta)}\)
Czyli musimy sprawdzić, czy zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \left| \frac{sin(nx)}{n}\right| \leqslant |sinx|}\)
Chyba wreszcie jest dobrze (chociaż nie jestem pewien, czy można w ten sposób stosować indukcję, ale chyba tak). Załóżmy indukcyjnie, że zachodzi podwójna nierówność:
\(\displaystyle{ -|sinx| \leqslant \frac{sin(nx)}{n} \leqslant |sinx|}\)
dla \(\displaystyle{ n \geqslant 1}\)
Sprawdzenie oczywiste. Dowód:
\(\displaystyle{ \frac{sin(n+1)x}{n+1} = \frac{n \cdot \frac{sin(nx)}{n} cosx + sinx cos(nx)}{n+1} \leqslant \frac{n|sinx| + sinx cos(nx)}{n+1} \leqslant \frac{n|sinx| + |sinx|}{n+1} = |sinx|}\)
Pierwsza nierówność wynika z tego, że:
\(\displaystyle{ -|sinx| \leqslant \frac{sin(nx)}{n} \leqslant |sinx| \\
-1 \leqslant cosx \leqslant 1}\)
Zatem oczywiście ich iloczyn nie przekracza \(\displaystyle{ |sinx|}\)
Ograniczenie od dołu pokazujemy analogicznie. Mamy zatem:
\(\displaystyle{ -|sinx| \leqslant \frac{sin(nx)}{n} \leqslant |sinx|}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \left| \frac{sin(nx)}{n}\right| \leqslant |sinx|}\)
A to jest nierówność, którą chcieliśmy udowodnić.
A równość zachodzi na pewno, gdy obie strony są równe 0.

Wasilewski pisze:chociaż nie jestem pewien, czy można w ten sposób stosować indukcję, ale chyba tak

Jasne, choć jak dla mnie wyraźniej to widać pokazując to w postaci: \(\displaystyle{ |\sin (nx)| \leqslant n |\sin x|}\), dowód przebiega identycznie jak Twój (gdyż to jest po prostu to samo ).

Zastanawiam się, czy nie da rady tej nierówności pokazać jakoś inaczej, bo nie lubię indukcji.