Matematyka.pl

Zadanie z matematyki WFiIS AGH

\(\displaystyle{ 2y'cos x = y sin x - y^3}\)

==Rozwiązanie==
Zakładam:

\(\displaystyle{ \begin{cases} y \ne 0 \\ \cos x \ne 0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ y' - {1 \over 2} \frac{\sin x}{\cos x} y = -\frac{1}{2\cos x} y^{3}\\ \\
\frac{y'}{y^{-3}} - {1 \over 2} \tan x \ \frac{y}{y^{-3}} = - \frac{1}{2 \cos x} \\ \\
\frac{y'}{y^{-3}} - {1 \over 2} \tan x \ y^{-2} = - \frac{1}{2 \cos x} \\ \\}\)

Dokonuję podstawienia:

\(\displaystyle{ z = y^{1-n}}\)
gdzie jak dla nas
\(\displaystyle{ n=3}\)

\(\displaystyle{ z = y^{-2} \\
z' = -2y^{-3}y' \\
y' = \frac{-z'}{2y^{-3}}}\)

Po wykonaniu podstawienia i dokonaniu uproszczeń otrzymuję równanie różniczkowe liniowe niejednorodne:

\(\displaystyle{ z' + z\tan x = \frac{1}{\cos x}}\)

Rozwiązuję równanie liniowe:

\(\displaystyle{ \frac{dz}{dx} + z\tan x = 0}\)

Rozdzielam zmienne:

\(\displaystyle{ \int\frac{dz}{z} = -\int \tan x dx}\)

Całkuję:

\(\displaystyle{ \ln z =\ln|\cos x| + \ln|C|}\)

Jak teraz zapisać moduły? Zostawmy już właściwości logarytmu w spokoju, ale wg mnie:

\(\displaystyle{ z = \pm C\cos x}\)

Co na to reszta forum?

Wcale też nie byłbym obrażony, gdyby ktoś podpowiedział jakąś postać całki szczególnej RN, bo sam nie mam na to pomysłu.

machacz pisze:Jak teraz zapisać moduły? Zostawmy już właściwości logarytmu w spokoju, ale wg mnie:

\(\displaystyle{ z = \pm C\cos x}\)

Możesz zapisać nową stałą i "wciągnąć plus i minus" do niej, tzn. teraz masz
\(\displaystyle{ z = \pm C\cos x}\), gdzie \(\displaystyle{ C\in\mathbb{R} \setminus \{0\}}\),
a dalej będzisz miał
\(\displaystyle{ z =C_1\cos x}\), gdzie \(\displaystyle{ C_1\in\mathbb{R} \setminus \{0\}}\).

machacz pisze:Wcale też nie byłbym obrażony, gdyby ktoś podpowiedział jakąś postać całki szczególnej RN, bo sam nie mam na to pomysłu.

Tego się nie da zrobić metodą przewidywań. Zastuj metodę uzmienniania stałej.

Całkuję:

\(\displaystyle{ \ln z =-\ln|\cos x| - \ln|C^*|\\
\ln z =-\ln|C^*\cos x| \\
\ln z =\ln|C\cos^{-1} x| \\
z = \frac{C}{\cos x}}\)

Stosuję metodę uzmienniania stałej:

\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{\cos x}\right) ' = - \frac{1}{\cos^2x} \cdot (-\sin x)}\)

\(\displaystyle{ z = \frac{C(x)}{\cos x} \\
z' = \frac{C'(x)}{\cos x} + C(x) \frac{\sin x}{\cos^2x}}\)

Po podstawieniu do równania niejednorodnego:

\(\displaystyle{ C'\frac{1}{\cos x} + C \frac{sin x}{\cos^2 x} + C\frac{\sin x}{\cos x} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\cos x}}\)

No i coś się nie chce zredukować... Gdzie jest błąd? Szukałem w pochodnej, ale tam jest dobrze, a z żadnego innego miejsca nie wyjdzie inny znak przy C i C'.

machacz pisze:Całkuję:
\(\displaystyle{ \ln z =-\ln|\cos x| - \ln|C^*|\\\ln z =-\ln|C^*\cos x| \\\ln z =\ln|C\cos^{-1} x| \\z = \frac{C}{\cos x}}\)

Źle scałowałeś. W pierwszym poście miałeś dobrze. Dlaczego zmieniłeś?

\(\displaystyle{ \int\frac{dz}{z} = -\int \tan x dx}\)

\(\displaystyle{ \ln |z| =\ln|\cos x| + \ln|C_1|}\), gdzie \(\displaystyle{ C_1\in\mathbb{R} \setminus \{ 0\}}\)

\(\displaystyle{ \ln |z| =\ln|C_1 \cdot\cos x|}\)

\(\displaystyle{ |z| =|C_1| \cdot |\cos x|}\)

\(\displaystyle{ z=\pm C_1 \cdot \cos x}\)

\(\displaystyle{ z= C \cdot \cos x}\), gdzie \(\displaystyle{ C\in\mathbb{R} \setminus \{ 0\}}\)

Stosując metodę uzmienniania stałej.

\(\displaystyle{ z=C(x)\cdot \cos x}\)

\(\displaystyle{ z'=C' \cos x-C \sin x}\)

\(\displaystyle{ C' \cos x-C \sin x+C\cos x \frac{\sin x}{\cos x}=\frac{1}{\cos x}}\)

\(\displaystyle{ C' \cos x=\frac{1}{\cos x}}\)

Dalej już sobie dasz radę.

ychy, sprawdziłem na wikipedii. Faktycznie,

\(\displaystyle{ \int \tg x dx = - \ln |x| + C}\)

Dziękuję serdecznie za pomoc.

\(\displaystyle{ \int \tg x dx = - \ln |x| + C}\)

Na pewno? Rozumiem, że czeski błąd

no chyba . jeszcze raz całe rozwiązanie, żeby nie trzeba było latać wzrokiem po postach:


Rozwiązać równanie:

\(\displaystyle{ 2y'cos x = y sin x - y^3}\)

==Rozwiązanie==
===Doprowadzenie do innej postaci===
Zakładam:

\(\displaystyle{ \begin{cases} y \ne 0 \\ \cos x \ne 0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ y' - {1 \over 2} \frac{\sin x}{\cos x} y = -\frac{1}{2\cos x} y^{3}\\ \\
\frac{y'}{y^{-3}} - {1 \over 2} \tan x \ \frac{y}{y^{-3}} = - \frac{1}{2 \cos x} \\ \\
\frac{y'}{y^{-3}} - {1 \over 2} \tan x \ y^{-2} = - \frac{1}{2 \cos x} \\ \\}\)


===Podstawienie ===
Dokonuję podstawienia:

\(\displaystyle{ z = y^{1-n}}\)
gdzie jak dla nas
\(\displaystyle{ n=3}\)

\(\displaystyle{ z = y^{-2} \\
z' = -2y^{-3}y' \\
y' = \frac{-z'}{2y^{-3}}}\)

===Równanie niejednorodne i jednorodne. Rozdzielenie zmiennych ===

Po wykonaniu podstawienia i dokonaniu uproszczeń otrzymuję równanie różniczkowe liniowe niejednorodne:

\(\displaystyle{ z' + z\tan x = \frac{1}{\cos x}}\)

Rozwiązuję równanie liniowe:

\(\displaystyle{ \frac{dz}{dx} + z\tan x = 0}\)

Rozdzielam zmienne:

\(\displaystyle{ \int\frac{dz}{z} = -\int \tan x dx}\)

Całkuję:

\(\displaystyle{ \ln |z| =\ln|\cos x| + \ln|C_1|}\), gdzie \(\displaystyle{ C_1\in\mathbb{R} \setminus \{ 0\}}\)

\(\displaystyle{ \ln |z| =\ln|C_1 \cdot\cos x|}\)

\(\displaystyle{ |z| =|C_1| \cdot |\cos x|}\)

\(\displaystyle{ z=\pm C_1 \cdot \cos x}\)
===CORJ===

\(\displaystyle{ z= C \cdot \cos x}\), gdzie \(\displaystyle{ C\in\mathbb{R} \setminus \{ 0\}}\) - '''CORJ'''

===Uzmiennienie stałej===

Stosując metodę uzmienniania stałej.

\(\displaystyle{ z=C(x)\cdot \cos x}\)

\(\displaystyle{ z'=C' \cos x-C \sin x}\)

\(\displaystyle{ C' \cos x-C \sin x+C\cos x \frac{\sin x}{\cos x}=\frac{1}{\cos x}}\)

\(\displaystyle{ C' \cos x=\frac{1}{\cos x}}\)

\(\displaystyle{ C' =\frac{1}{\cos^2 x}}\)

Pamiętamy czego pochodną jest \(\displaystyle{ \frac{1}{\cos^2 x}}\):
===CSRN===

\(\displaystyle{ C =\tan x}\) - '''CSRN'''

===CORN===

Zatem mamy:

\(\displaystyle{ z= C \cdot \cos x + \tan x}\), gdzie \(\displaystyle{ C\in\mathbb{R} \setminus \{ 0\}}\) - '''CORJ'''
===Całki banalne===
Natychmiast widzimy że całką banalną jest:

\(\displaystyle{ y=0}\)

Ponieważ założyliśmy \(\displaystyle{ \cos x \ne 0}\), zatem \(\displaystyle{ x \ne \frac{\pi}{2} + 2k\pi}\), to sprawdzamy, co się dzieje, kiedy jednak \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi}\):

\(\displaystyle{ 2y' \cdot 0 = y - y^3}\)

\(\displaystyle{ y = y^3}\)

Dostajemy, że dla \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi}\) całkami są proste \(\displaystyle{ y=1}\) lub \(\displaystyle{ y=-1}\) lub \(\displaystyle{ y=-1}\)

Całką ogólną równania liniowego niejednorodnego \(\displaystyle{ z' + z\tan x = \frac{1}{\cos x}}\) będzie
\(\displaystyle{ z=\sin x+D\cdot \cos x}\), gdzie \(\displaystyle{ D\in\mathbb{R}}\), a nie \(\displaystyle{ z= C \cdot \cos x + \tan x}\).

W równaniu \(\displaystyle{ z=C(x)\cdot \cos x}\) podstawiasz za "C(x)" \(\displaystyle{ \tg x +D}\) (\(\displaystyle{ D}\) to stała), a nie sumujesz ze sobą \(\displaystyle{ \tg x}\) i \(\displaystyle{ C\cdot\cos x}\).

faktycznie, thx