Matematyka.pl

Oblicz

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \sqrt[n]{4^n+9^n}}\)

Tw o 3 ciągach

\(\displaystyle{ a_n=\sqrt[n]{4^n+9^n} \\
b_n= \sqrt[n]{9^n}\\
c_n= \sqrt[n]{9^n+9^n}}\)

Zapewne ta granica idzie jakoś sprytnie z trzech ciągów, ale daje się też spałować.

Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f(x)=(4^x+9^x)^{\frac{1}{x}}}\). Jeżeli policzymy jej granicę w nieskończoności, to uzyskamy jednocześnie granicę naszego ciągu. Zauważmy, że \(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to\infty} (4^x+9^x)^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{1}{x}\ln (4^x+9^x)}\stackrel{H}{=}e^{\frac{\ln4\cdot 4^x+\ln9\cdot 9^x}{4^x+9^x}}=\lim_{x\to\infty} (e^{\ln 4})^{\frac{1}{1+(\frac{9}{4})^x}}\cdot (e^{\ln 9})^{\frac{1}{1+(\frac{4}{9})^x}}=4^0\cdot 9^1=9}\), przy czym ostatnia równość wynika z tw o granicy iloczynu, oraz ciągłości.

Edit: a jednak szła bardzo prosto... no cóż może ta metoda okaże się przydatna w jakimś innym przykładzie.