Matematyka.pl

Mam do zbadania taki szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{ n=1}^{ \infty } \frac{\sin n \alpha }{ \left( \ln 10\right)^{n} }}\)
Wyrazy tego szeregu przyjmuja wartosci dodatnie i ujemne, ale nie na przemian.
\(\displaystyle{ -1 \le \sin n \alpha \le 1 \\
3 < \ln 10 < 4}\)
Warunek konieczny zbieznosci:
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } u_{n}=0}\) - licznik przyjmuje wartosci od \(\displaystyle{ -1}\) do \(\displaystyle{ 1}\), a mianownik dazy do \(\displaystyle{ \infty}\)
Badam:
\(\displaystyle{ \sum_{ n=1}^{ \infty } \left| \frac{\sin n \alpha }{ \ln 10^{n} }\right| \\
0 \le \left| \sin n \alpha \right| \le 1}\)
Z kryterium Cauchy'ego:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{ \sqrt[n]{\left| \sin n \alpha \right| } }{ \ln 10} <1}\) - licznik dązy do 1, a mianownik: \(\displaystyle{ 3 < \ln 10 < 4}\) - szacuje
Wiec badany szereg jest zbiezny na podstawie kryterium Cauchy'ego, a zatem szereg dany na poczatku jest bezwzglednie zbiezny.

Prosze o skomentowanie poprawnosci rozwiazania. Mi osobiscie sie nie podoba, bo takie szacowanie miejscami(czy tak mozna?) jednak innego rozwiazania narazie nie znalazlem. Moze jakis lepszy zapis?

Po krótkim spojrzeniu stwierdzam, że szereg jest jak najbardziej zbieżny. Licznik krąży wokół zera z promieniem 1, a mianownik szybko rośnie. Cały ułamek silnie dąży do zera w nieskończoności.

Samych Twoich rachunków nie sprawdzałem ;], jednakże myślę, że jest tak:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\sin n \alpha }{ \left( \ln 10\right)^{n} } = 0}\)

jako że funkcja może być szacowana mniej/więcej tak:

\(\displaystyle{ O\left(\frac{1}{a^n}\right)}\)

Nie wiem jak Twoje kryterium Cauchy'ego, gdyż granica nie istnieje (\(\displaystyle{ \sin n}\) daje co pewien czas jedynkę, a \(\displaystyle{ \sqrt[n]{1} = 1}\)), dla bardzo dużych \(\displaystyle{ n}\) będzie ciąg (prawie) zer i punktami z \(\displaystyle{ \frac{1}{\log 10}}\)).

Może lepiej z kryterium porównawczego:

\(\displaystyle{ \left| \frac{\sin n \alpha }{ \left( \ln 10\right)^{n} } \right| < \frac{2}{3^n}}\)

gdzie prawa strona jest bezwzględnie zbieżna.

Ok, dzięki bardzo!