Matematyka.pl

3.W prostokącie o wymiarach \(\displaystyle{ 5}\) na \(\displaystyle{ 3k}\) (\(\displaystyle{ k\in \mathbb{N}}\)) umieszczono \(\displaystyle{ 2k+2}\) punktów. Pokaż, że pewne dwa punkty są oddalone od siebie o nie więcej niż \(\displaystyle{ \sqrt{13}}\)

Rozważmy następującą figurę :
Mamy prostokąt \(\displaystyle{ ABCD}\), gdzie \(\displaystyle{ AB=3}\), \(\displaystyle{ BC=2}\). Bo boku \(\displaystyle{ CD}\) doklejamy trapez \(\displaystyle{ XYZT}\) tak, że bok \(\displaystyle{ XY}\) sklejamy z bokiem \(\displaystyle{ CD}\), \(\displaystyle{ YZ=TZ=\sqrt{2}}\), \(\displaystyle{ ZT=1}\). Nazwijmy tę figurę 'omnicorpus'. Łatwo sprawdzic, że średnica omnicorpusa figury to \(\displaystyle{ \sqrt{13}}\). Ponadto równie łatwo prostokąt \(\displaystyle{ 5}\) na \(\displaystyle{ 3k}\) można przykryc \(\displaystyle{ 2k+1}\) omnicorpusami. Najpierw układamy je jeden obok obok drugiego na długim boku tego prostokąta, do czego zużywamy \(\displaystyle{ k}\) omnicorpusów, następnie
kładziemy \(\displaystyle{ k+1}\) omnicorpus na drugim długim boku, tak że pierwszy 'sporo' wystaje. Jak to zrobic już nie powinno przedstawiac trudności. Zatem pewne dwa punkty leżą w tym samym omnicorpusie, skąd teza.

mozna prościej- podzielić prostokąty 5x3 na dwa trapezy o podstawach 2 i 3. i wystarczy 2k+1 punktów

Jeśli dobrze rozumiem, to takie rozwiązanie już nie działa, bo w trapezie 2 na 3 na 3 można znaleźć dwa punkty odległe o \(\displaystyle{ \sqrt{18}>\sqrt{13}}\).

Mama Jerza bardzo fajne rozwiązanie. Pozdrawiam

Damianito pisze:Jeśli dobrze rozumiem, to takie rozwiązanie już nie działa, bo w trapezie 2 na 3 na 3 można znaleźć dwa punkty odległe o \(\displaystyle{ \sqrt{18}>\sqrt{13}}\).

fakt, beznadziejny błąd