Matematyka.pl

Wyznacz monotoniczność i ekstremum funkcji

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{-4x}{x^2+1}}\)

wczym masz problem

w rozwiązaniu tego zadania

policz pierwszą pochodną i miejscza zerowe pochodnej tak na początek

ale jak ktos nie wie jak to ruszyc nawet to jak mam to rozwiązać. Gdybym cokolwiek umiala bym tu napisała ale ja nie wiem jak to rozwiązać

no to co ty robisz w czasie lekcji na matmie??

mieliśmy tylko jeden wykład z tego i faceta nie obchodzi to że nie umiemy tego a teraz na niecałe 60osób ponad 40 ma poprawkę

oki to ci pomogę krok po kroku

dzięki wielkie

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{-4x}{x^2+1}; x \in R}\)

\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{(-4x)' \cdot (x ^{2}+1)-(x ^{2}+1)' \cdot (-4x) }{(x ^{2}+1) ^{2} } = \frac{-4\cdot (x ^{2}+1)-2x\cdot (-4x)}{(x ^{2}+1) ^{2} }= \frac{-4x ^{2} -4+8x ^{2} }{(x ^{2}+1) ^{2} } = \frac{4x ^{2}-4 }{(x ^{2}+1) ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ f'(x)= 0 \Rightarrow \frac{4x ^{2}-4 }{(x ^{2}+1) ^{2} }=0/ \cdot (x ^{2}+1) ^{2} \\ 4x ^{2}-4=0/:4 \\ x ^{2}-1=0 \\ (x-1)(x+1)=0\\ x=1 \vee x=-1}\)
\(\displaystyle{ x=1 \vee x=-1}\) - w tych punktach mogą być extrema

teraz wystarczy tylko narysować funkcję \(\displaystyle{ x ^{2}-1}\) czyli parabolkę której miejscami zerowymi są punkty \(\displaystyle{ x=-1}\) i \(\displaystyle{ x=1}\) z ramionami do góry
i zauwżysz że w punkcie \(\displaystyle{ x=-1}\)funkcja zmienia znak z (+) na (-) czyli w tym punkcie jest max. a w punkcie \(\displaystyle{ x=1}\) funkcja zmienia znak z (-) na (+) czyli w tym punkcie jest min.

wystarczy zbadać znak funkcji \(\displaystyle{ x ^{2}-1}\) tam gdzie \(\displaystyle{ x ^{2}-1>0}\)to nasza funkcja f(x) jest rosnąca \(\displaystyle{ x ^{2}-1<0}\) to funkcja f(x) jest malejąca (p.s. nie biorę pod uwagę mianownika fochodnej bo nie wpływa onna zmianę znaku ponieważ jest dodatni dla \(\displaystyle{ x \in R}\))

f(x) rosnie w przedziale \(\displaystyle{ x \in (- \infty ;-1) \cup (1;+ \infty )}\)
f(x) maleje w przedziale \(\displaystyle{ x \in (-1;1)}\)