Matematyka.pl

Zbadaj zbieżność szeregu :

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{1}{ \sqrt{n} }\cos \frac{1}{n}}\) , wg. mnie szereg ten jest rozbieżny bo \(\displaystyle{ \cos \frac{1}{n}}\) jest rozbieżny tak samo jak \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{n} }}\)

Będę wdzięczna za odp.

Masz rację. Jest przecież \(\displaystyle{ (-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}}\cos\frac{1}{n}\ge(-1)\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot(-1)=\frac{1}{\sqrt{n}}}\) i szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}}\) jest rozbieżny. Kryterium porównawcze daje jednoznaczną odpowiedź.

Pozdrawiam

To dobrze, dziękuję za odpowiedź pozdrawiam

Jest przecież \(\displaystyle{ (-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}}\cos\frac{1}{n}\ge(-1)\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot(-1)=\frac{1}{\sqrt{n}}}\)

Twoje oszacowanie jest niepoprawne (bo biorąc n=1 miałaby zachodzić nierówność \(\displaystyle{ -cos1 > 0}\), która jest nieprawdziwa). W tym zadaniu trzeba wykorzystać kryterium Leibniza. O ile nie pomyliłem się w rachunkach to wychodzi, że spełnione są jego założenia a sam szereg jest zbieżny.