Matematyka.pl

Jak rozwiązywaliście zadanie 6 (ciąg)? Bo mi wydało się ono strasznie proste...

no to pokaz to proste rozwiazanie

Proszę bardzo. Daną postać ciągu przekształcamy na (nawiasy [] oznaczają indeks dolny, / - dzielenie): 1/an+2=(an+1-an)/(an*an+1). Udowadniamy, że ciąg musi być rosnący (co jest proste), a następnie dowodzimy (np. indukcyjnie), że każdy wyraz ciągu będzie postaci ak=(an*an+1)/xk (gdzie xk zmienia się w zależności od wyrazu). Ponieważ ak musi być całkowite, to an*an+1 musi być podzielne przez x1,x2,x3 etc. Ciąg jest rosnący, więc te każde x będzie różne od innych, stąd będzie ich nieskończona ilość. an*an+1 jest jednak liczbą skończoną, co dowodzi, że ciąg taki nie istnieje.

no calkiem niezle
ja znalazlem wzor na wyraz ogolny ciagu i dowiodlem, ze bedzie istnial wyraz mniejszy od zera

Możesz podać ten wzór?

a1a2/((-1)nFn-1a1 + (-1)n+1Fn-2a2)

F1 = F2 = 1 , Fn+2 = Fn+1 + Fn

problem w tym zeby dowiesc ze wszystkie ciagi spelniajace ta rekurencje sa tej postaci.

no ja mialem bez ciagu fibonaciego, ale to wystarczylo rozwiazac rekurencje liniowa i wychodzil wzor od razu

ja zauważyłem że (a_1*a_2)/(a_n) jest ciągiem liczb naturalnych i jest śćiśle malejący. Naturalnie wcześniej udowodniłem wzór ogólny na a_n
taki jak g

g pisze:a1a2/((-1)nFn-1a1 + (-1)n+1Fn-2a2)

F1 = F2 = 1 , Fn+2 = Fn+1 + Fn

problem w tym zeby dowiesc ze wszystkie ciagi spelniajace ta rekurencje sa tej postaci.

To sie wspaniele sklada bo dostalem dokladnie to samo, a potem udowodnilem ze lim_n->inf a_n = 0 a sam wyraz udowodnilem przez indukcje...

P.S: Czy powiedzial by ktos jak rozwiazal zadanie nr 5 bo wydaje mi sie ze go troche... eee... schrzanilem

wystarczylo wziac pierwszy lepszy wzor wiazacy katy, promienie albo boki i wykazac, ze ABCD to trapez, skad wynikalo, ze promienie sa rowne.
Ja skorzystalem ze wzoru
sinA+sinB+sinC=1+r/R

Bardzo bym prosil, zeby ktos pokazal rozwiazanie 8 zadania, bo nie chce mi sie wierzyc, ze poprawnie zrobione zajelo tylko kilka linijek.

Reksio pisze:Ja skorzystalem ze wzoru
sinA+sinB+sinC=1+r/R

no to cie musze zmartwic bo w tym wzorze sa cosinusy. suma sinusow to p/R

racja, skorzystalem oczywiscie z tego z cosinusami:)

Ja w 5. 2/3 dowodu przepisałem z Pawłowskiego ("Zadania z olimpiad z całego świata", różowy, bodajze zadanie 1.7) W 8 zadaniu łatwo było udowodnić, że nie da się osiągnać stanu z 1 lampką dla parzystych k, resztę zadania napisałem bardziej na wyczucie niż z solidnym dowodem, ale może parę punktów będzie.

Ja znalazlem ze tymi k sa wszystkie k

Moim zdaniem sa to wszystkie liczby nieparzyste k