Matematyka.pl

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) równanie \(\displaystyle{ x^4 - 6x^3+14x^2 - 2ax +a^2 + 4 =0}\) nie ma rzeczywistych rozwiązań?

Dość kłopotliwy rachunkowo wielomian do zbadania.
Polecam Ci artykuł (w języku angielskim) M. Coste, An introduction to semialgebraic geometry, Rennes 2002. Paragraf 1.4 dotyczy ciekawej metody Hermitte'a badania istnienia i liczby pierwiastków wielomianu. Jest ona przydatna szczególnie dla wielomianów z parametrem. By tę moetodę zrozumieć, wystarczy znać elementarne pojęcia z algebry liniowej, m.in. formy kwadratowej.
Oto adres, pod którym się artykuł znajduje .

a czy nie można graficznie np wziąć funkcję \(\displaystyle{ f(x)=x^4 - 6x^3+14x^2}\)
i \(\displaystyle{ g(x)=- 2ax +a^2 + 4}\)??

Hmm, też dobry sposób.
Wymyśliłem na poczekaniu jednak coś jeszcze innego: skoro \(\displaystyle{ 0=x^4 - 6x^3+14x^2 - 2ax +a^2 + 4=x^4-6x^3+9x^2+5x^2-2ax+a^2+4=x^2(x-3)^2+x^2-2ax+a^2+4x^2+4=x^2(x-3)^2+(x-a)^2+4(x^2+1)}\), to na to wygląda, że równanie przy żadnym \(\displaystyle{ a}\) nie ma pierwiastków.

lukasz1804 pisze:Dość kłopotliwy rachunkowo wielomian do zbadania.
Polecam Ci artykuł (w języku angielskim) M. Coste, An introduction to semialgebraic geometry, Rennes 2002. Paragraf 1.4 dotyczy ciekawej metody Hermitte'a badania istnienia i liczby pierwiastków wielomianu. Jest ona przydatna szczególnie dla wielomianów z parametrem. By tę moetodę zrozumieć, wystarczy znać elementarne pojęcia z algebry liniowej, m.in. formy kwadratowej.
Oto adres, pod którym się artykuł znajduje .

Dzieki czyli tę teorię sobie jednak daruje