Matematyka.pl

Mam zadanie i mam z nim problem bo kompletnie nie wiem co mam robić i jak zacząć.
Treść brzmi tak: Na okręgu o promieniu długości \(\displaystyle{ r}\) opisano trapez równoramienny. Znajdź długość ramienia trapezu wiedząc, że jedna z podstaw tego trapezu ma 5cm długości. Wynik mam i wynosi on ramie \(\displaystyle{ \frac{(4r^2+25)}{10}}\) to jest ułamek. I kompletnie nie kminie tego zadania .. Od czego zacząć i wogóle ... Prosze o jakąś pomoc !

Tu masz coś podobnego: https://www.matematyka.pl/15272.htm

Rysunek:


Co można powiedzieć o odcinkach \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) oraz \(\displaystyle{ c}\) i \(\displaystyle{ d}\) (\(\displaystyle{ E, F, G, H}\) to punkty styczności)?
Jaką długość ma odcinek \(\displaystyle{ \left| DI\right|}\), a jaką \(\displaystyle{ \left| AI\right|}\)?

Spróbuj pogłówkować, jeśli się nie uda, to polecimy dalej.

no dobra Oregon wiem że z tymi odcinkami \(\displaystyle{ \left|DI\right|}\) oraz \(\displaystyle{ \left|AI\right|}\) chodzi ci o trójkąt prostokątny no ale co mam z niego wiedzieć bo napisane jest że jedna z podstaw nie koniecznie ta dłuższa ma te 5cm a te punkty a,b i c,d to nie wiem o co ci chodzi . Coś z symetią ?

Ok, więc tak:

\(\displaystyle{ a=b=x}\), natomiast \(\displaystyle{ c=d=y}\) (gdybyś przedłużył ramiona trapezu, to otrzymałbyś trójkąt równoramienny, więc dany okrąg jest wpisany w trójkąt równoramienny, a środek takiego okręgu leży na przecięciu dwusiecznych kątów trójkąta. W przypadku trójkąta równoramiennego dwusieczna kąta pomiędzy ramionami jest zarazem symetralną podstawy. A więc odcinki \(\displaystyle{ c=d=y}\), podobnie \(\displaystyle{ a=b=x}\). Uff...)

Odcinek \(\displaystyle{ \left| AI\right| = y-x}\) \(\displaystyle{ \left| DI\right| = 2r}\)

A więc \(\displaystyle{ \left| AI\right| ^2+\left| DI\right| ^2=\left| AD\right| ^2}\), czyli \(\displaystyle{ (y-x)^2+(2r)^2=(x+y)^2}\). Stąd - \(\displaystyle{ x= \frac{r^2}{y}}\) (lub \(\displaystyle{ y= \frac{r^2}{x}}\) (ostatecznie nie ma znaczenia, który stosunek wybierzemy).

Wiemy, że \(\displaystyle{ x=2,5}\) lub \(\displaystyle{ y=2,5}\), ale tak samo - nie ma to znaczenia.

Załóżmy więc, że to \(\displaystyle{ y=2,5}\) i \(\displaystyle{ x= \frac{r^2}{y}}\).

\(\displaystyle{ \left| AD\right| =\left| BC\right| =x+y= \frac{r^2+y^2}{y} = \frac{r^2+6,25}{2,5} = \frac{4}{4} (\frac{r^2+6,25}{2,5})= \frac{4r^2+25}{10}}\)

Jeśli wybierzesz \(\displaystyle{ x=2,5}\) i użyjesz proporcji \(\displaystyle{ y= \frac{r^2}{x}}\) wyjdzie to samo.

Jeśli coś pogmatwałem, to pisz.