Matematyka.pl

Mam problem z zadaniem.


1.7 Proste k,l,m są styczne do okręgów. Uzasadnij, że \(\displaystyle{ |PQ| = |AB|}\)
Jedyne co widzę, to to, że \(\displaystyle{ |AB| = |CD|}\) ... O ile to dobrze widzę
Proszę o jakąkolwiek pomoc.

Proste \(\displaystyle{ l}\) i \(\displaystyle{ m}\) przetną się w punkcie \(\displaystyle{ W}\). Skorzystaj z tego twierdzenia:

"Odcinki dwóch stycznych poprowadzonych do okręgu z punktu, którego odległość od środka okręgu jest większa niż długość promienia są równe."

A dalej kombinuj

No tak, znam to twierdzenie. Czyli dochodzi mi do tego, że
\(\displaystyle{ |AB| = |CD| = |EF|}\)
więc jak \(\displaystyle{ |PQ| = |AB|, |PQ| = |CD|, |PQ| = |EF|}\)

czyli
\(\displaystyle{ |AP| + |PB| = |AB| = |CD| = |EF|}\)
\(\displaystyle{ |EQ| + |QF| = |AB| = |CD| = |EF|}\)
\(\displaystyle{ |AP| + |PB| = |EQ| + |QF|}\)
więc
\(\displaystyle{ |EQ| + |QF| = |AP| + |PB|}\)

? czy coś dobrze myślę?

Nie wiem jak ci wyszło to

\(\displaystyle{ |AB| = |CD| = |EF|}\)



W każdym razie ja bym to zrobił tak :

Niech punkt przecięcia się stycznych \(\displaystyle{ l}\) i \(\displaystyle{ m}\) to punkt \(\displaystyle{ W}\).

Zgodnie z tw o odcinkach stycznych mamy;

\(\displaystyle{ |AW| = |EW|}\) oraz \(\displaystyle{ |BW=|FW|}\)

Odejmujemy stronami, mamy:

\(\displaystyle{ |AW| - |BW| = |EW| - |FW| \Leftrightarrow |AB| = |EF| \Leftrightarrow |AP| + |BP| = |EQ| + |FQ| \Leftrightarrow |FQ| = |AP| + |BP| - |EQ|}\)

Zgodnie z tw o odcinkach stycznych mamy;

\(\displaystyle{ |BP| = |DP|}\) oraz \(\displaystyle{ |EQ| = |CQ|}\)

Rozpatrujemy dalej naszą równość. Mamy:

\(\displaystyle{ |FQ| = |AP| + |BP| - |EQ| \Leftrightarrow |FQ| = |AP| + |DP| - |CQ|}\)

Zgodnie z tw o odcinkach stycznych mamy;

\(\displaystyle{ |AP| = |CP| oraz |FQ| = |DQ|}\)

Rozpatrujemy dalej naszą równość. Mamy:

\(\displaystyle{ |FQ| = |AP| + |DP| - |CQ| \Leftrightarrow |DQ| = |CP| + |DP| - |CQ| \Leftrightarrow |CQ| + |CD| = |CD| + |DP| + |DP| - |CQ| \Leftrightarrow 2|CQ|=2|DP| \Leftrightarrow |CQ| = |DP| \Leftrightarrow |CQ| = |BP|}\)

Wiadomo, że \(\displaystyle{ |AP| = |CP|}\) oraz \(\displaystyle{ |CQ| = |BP|}\)

Dodajemy stronami. Otrzymujemy:

\(\displaystyle{ |AP| + |BP| = |CP| + |CQ| \Leftrightarrow |AB|=|PQ|}\), co kończy dowód.

Trochę wygląda to może pogmatwane, ale w gruncie rzeczy raczej dobrze ;p

No... lekko


Ale dzięki, przepiszę i pomyślę nad tym.