Matematyka.pl

Udowodnij, że każde dwie bazy przestrzeni liniowej skonczonego wymiaru
maja te sama liczbe elementów (to znaczy zbiory ich indeksów sa
równoliczne).

To trochę taka "oczywista oczywistość" (bo np. wymiar p. liniowej byłby niejednoznaczny, gdyby takie coś nie zachodziło).

No, ale ok. Proponuję wybrać 2 dowolne bazy, niech jedna z nich zawiera więcej elementów niż ta druga. Dalej korzystasz z def. bazy.



Pozdrawiam.

Równoliczność wszystkich baz przestrzeni liniowej skończonego wymiaru wynika z twierdzenia Steinitza o wymianie (tutaj jest treść i dowód tego twierdzenia: ).

Argument odwołujący się do wymiaru przestrzeni, który podał miki999, jest postawieniem sprawy na głowie: właśnie dlatego, że wszystkie bazy są równoliczne pojęcie wymiaru ma sens, a nie na odwrót.