Matematyka.pl

Muszę wyznaczyć pochodną \(\displaystyle{ x^{x}}\)

A możesz napisać jak do tego doszedłeś, chcę to dokładnie przeanalizować, w każdym bądź razie dzięki.

Zwykłe właśności logarytmu

\(\displaystyle{ a^b=e^{lna^b}\\lna^b=blna}\)

\(\displaystyle{ a^b=e^{lna^b}}\)

Zatem to równość jest własnością logarytmy czy podstawienie e wynika z zastosowania tego w obliczaniu pochodnej- a dokładniej chodzi mi o to że tak jest zawsze w przypadku \(\displaystyle{ a^{b}}\) czy e występuje tylko w przypadku pochodnej (nie kojarzę wszystkich własności logarytmów ;p)

\(\displaystyle{ a^b=e^{b\ln{a}}}\)
ponieważ \(\displaystyle{ a=e^{\ln{a}}}\)
więc \(\displaystyle{ a^b=\left(e^{\ln{a}}\right)^b=e^{b\ln{a}}}\)

zatem:
\(\displaystyle{ \left(x^x\right)' = \left(e^{\ln x^x}\right)' = \left(e^{x\cdot \ln x}\right)' = e^{x\cdot \ln x} \cdot (x \ln x)' =}\)


I co teraz zrobić z \(\displaystyle{ (x \ln x)'}\) która funkcja jest zewnętrzna która wewnętrzna?

Policz to jako pochodną iloczynu.

\(\displaystyle{ (f(x) \cdot g(x))'=f'(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g'(x)}\)
w tym przypadku \(\displaystyle{ f(x)=x}\) i \(\displaystyle{ g(x)=\ln{x}}\)

\(\displaystyle{ (x \ln x)'= x' \cdot lnx + x \cdot (lnx)' = lnx +1}\)

zgadza się dziękuję bardzo za pomoc