Matematyka.pl

Liczby x1 ix2 są pierwiastkami równania \(\displaystyle{ 2x ^{2} +mx-1=0.}\)
Sn jests sumą n początkowych wyrazów ciągu an określonego wzorem \(\displaystyle{ an=(x _{1} ) ^{n} *(x _{2} ) ^{n}}\)
Zapisz iloraz \(\displaystyle{ \frac{S _{20} }{S _{10} }}\)w postaci p/q, jesli pi q są liczzbami względnie pierwszymi.

\(\displaystyle{ a_n=(x _{1} ) ^{n} \cdot (x _{2} ) ^{n}=(x_1x_2)^n=}\) ze wzorów Viete'a \(\displaystyle{ =\left( -\frac{1}{2} \right)^n}\)
Zatem
\(\displaystyle{ \frac{S _{20} }{S _{10} }= \frac{ -\frac{1}{2} \cdot \frac{1- \left( -\frac{1}{2} \right)^{20}}{1+\frac{1}{2}} }{ -\frac{1}{2} \cdot \frac{1- \left( -\frac{1}{2} \right)^{10}}{1+\frac{1}{2}} }=\frac{1- \left( -\frac{1}{2} \right)^{20}}{1- \left( -\frac{1}{2} \right)^{10}}=1+ \left( -\frac{1}{2} \right)^{10}=\frac{1023}{1024}}\)

tometomek91 pisze:\(\displaystyle{ ...=1+ \left( -\frac{1}{2} \right)^{10}=\frac{1023}{1024}}\)

Tutaj tylko wynik zły \(\displaystyle{ ...=\frac{1025}{1024}}\).