Matematyka.pl

Jeśli się nie mylę, to:

\(\displaystyle{ (Q(\sqrt{2}), \oplus, 0)\\Q(\sqrt{2}) = (a+b\sqrt{2},\ a,b Q)}\)

Ustalamy dla łatwiejszego zapisu:
\(\displaystyle{ x = a + b \sqrt{2}\\}\)
Więc mamy następujące aksjomaty:
\(\displaystyle{ \forall_{a,b Q}\\
1.\ (x_{1} + x_{2}) + x_{3} = x_{1} + ( x_{2} + x_{3} )\\
2.\ x + 0 = 0 + x = x\\
3.\ x+(-x) = (-x)+x = 0\\
4.\ x_{1} + x_{2} = x_{2} + x_{1}}\)

1. Dodawanie tych liczb jest łączne.
2. Element neutralny ze względu na dodawanie istnieje i jest to: 0.
3. Istnieje element odwrotny.
4. Dodawanie tych liczb jest przemienne.

Wszystkie są spełnione, więc jest to grupa addytywna, przemienna (ze względu na czwarty aksjomat-ale tu mogę się mylić, bo jestem pewien, czy tyczy się to również dodawania (mnożenia na pewno)).

Notabene aksjomaty dla mnożenia są również spełnione, więc jest to także grupa ze względu na mnożenie:

\(\displaystyle{ (Q(\sqrt{2}), \odot, 1)\\Q(\sqrt{2}) = (a+b\sqrt{2},\ a,b Q)}\)
oraz pierścień:
\(\displaystyle{ (Q(\sqrt{2}), \oplus, \odot, 0, 1)\\Q(\sqrt{2}) = (a+b\sqrt{2},\ a,b Q)}\)

Ten czwarty warunek nie jest potrzebny, aby struktura była grupą. Jeżeli by była mowa o grupie abelowej to jak najbardziej.

olazola pisze:Ten czwarty warunek nie jest potrzebny, aby struktura była grupą. Jeżeli by była mowa o grupie abelowej to jak najbardziej.

Wiem, dlatego napisałem go na końcu i dodałem informację, iż jest to grupa addytywna Choć faktycznie nie konieczny jest dla samego faktu istnienia grupy