Matematyka.pl

a) \(\displaystyle{ 2^n>n^2 \quad n\geq 5 \\}\)
b) \(\displaystyle{ \\ (1+x)^n \geq 1+nx \quad \forall x>-1}\)

próbowałam to udowodnic ale za nic mi nie wychodzi

b) nierówność bernoulliego - dowód na wiki
a) n=5 - oczywiste
Z prawdziwości wzoru dla n wynika prawdziwosć dla n+1:
\(\displaystyle{ 2^{n+1}=2^n \cdot 2 > 2 \cdot n^2> n^2+2n+1=(n+1)^2}\)
ostatnia nierównośc wynika z tego, że \(\displaystyle{ \forall_{n \in \mathbb{N}\ \wedge\ n>5}\ n^2>2n+1}\)

ale przeciez ta ostatnia nierownosc jest prawdziwa juz dla n>3

Więc w szczególności też dla \(\displaystyle{ n>5}\), jako że każda liczba większa od pięciu jest też większa od trzech.