Calka niewlasciwa

[solmech]

Witam,

mam calke niewlasciwa

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1} \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }dx}\)

Korzystajac z

\(\displaystyle{ \int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{c}f(x)dx + \int_{c}^{b}f(x)dx}\)

gdzie \(\displaystyle{ c \in (a,b)}\)

otrzymalem dwie calki (c=0)

\(\displaystyle{ \int_{a}^{c} \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }dx = \lim_{ c \to 0} \left[ \arcsin(x) \right] = \frac{\pi}{2}}\)

oraz

\(\displaystyle{ \int_{c}^{b} \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }dx = \lim_{c \to 0 } \left[ \arcsin(x) \right] = \frac{\pi}{2}}\)

Czyli

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1} \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }dx = \pi}\)

Teraz pytanie , na ktore nie znam odpowiedzi. W tych dwoch calkach z tym c, dokad musi dazyc granica? Czy tak jak zapisalem, czy inaczej?

Prosze o pomoc.

Pozdrawiam
Tomek

-- 8 września 2010, 13:09 --

Po krotkiej refleksji, powinno byc raczej:

\(\displaystyle{ \int_{a}^{c} \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }dx = \lim_{ a \to -1} \left[ \arcsin(x) \right] = \frac{\pi}{2}}\)

oraz

\(\displaystyle{ \int_{c}^{b} \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }dx = \lim_{b \to +1 } \left[ \arcsin(x) \right] = \frac{\pi}{2}}\)

Tak?

[gott314]

Po krotkiej refleksji, powinno byc raczej:

\(\displaystyle{ \int_{a}^{c} \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }dx = \lim_{ a \to -1} \left[ \arcsin(x) \right] = \frac{\pi}{2}}\)

oraz

\(\displaystyle{ \int_{c}^{b} \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }dx = \lim_{b \to +1 } \left[ \arcsin(x) \right] = \frac{\pi}{2}}\)
Tak?

Raczej powinno być

\(\displaystyle{ \int_{a}^{c} \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }dx =0 - \lim_{ a \to -1^{+}} \left[ \arcsin(x) \right] = \frac{\pi}{2}}\)

oraz

\(\displaystyle{ \int_{c}^{b} \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }dx = \lim_{b \to +1^{-} } \left[ \arcsin(x) \right] - 0 = \frac{\pi}{2}}\),

gdyż rozpatrujesz granicę prawostronną dla \(\displaystyle{ x=-1}\) i lewostronną dla \(\displaystyle{ x=1}\).

[solmech]

Dziekuje, bardzo mi to pomoglo