sprawdź czy układ ma rozwiązanie

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
xyz5656
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 147
Rejestracja: 4 kwie 2009, o 12:29
Płeć: Kobieta
Podziękował: 67 razy

sprawdź czy układ ma rozwiązanie

Post autor: xyz5656 » 8 wrz 2010, o 10:56

\(\displaystyle{ \ Sprawdz \ , \ czy \ podany \ uklad \ rownan \ ma \ rozwiazanie \ ; \ jesli \ tak \ - \ rozwiaza \ go \ :
\begin{cases} x-y+z=2\\ -2x+3y+2z=10 \end{cases}}\)

Awatar użytkownika
cosinus90
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 5030
Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 777 razy

sprawdź czy układ ma rozwiązanie

Post autor: cosinus90 » 8 wrz 2010, o 12:02

Skorzystaj z twierdzenia Kroneckera - Capellego.

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

sprawdź czy układ ma rozwiązanie

Post autor: Crizz » 8 wrz 2010, o 12:04

Proponuję rozwiązać ten układ, korzystając z interpretacji geometrycznej tego układu równań.

Podane równania przedstawiają dwie płaszczyzny nierównoległe (na oko widać, że ich wektory normalne \(\displaystyle{ [1,-1,1],[-2,3,2]}\) nie są równoległe). Oznacza to, że układ ma rozwiązanie, czyli płaszczyzny przecinają się wzdłuż wspólnej prostej. Znajdujemy równanie tej prostej. Liczymy iloczyn wektorowy wektorów normalnych tych płaszczyzn - otrzymamy wektor kierunkowy podanej prostej:

\(\displaystyle{ [1,-1,1]\times [-2,3,2]=[-5,-4,1]}\)

Znajdujemy następnie przykładowe rozwiązanie układu równań, podstawiając \(\displaystyle{ x=0}\):
\(\displaystyle{ y=\frac{6}{5},z=\frac{16}{5}}\).

Na koniec zapisujemy odpowiedź: układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań danych wzorem \(\displaystyle{ (x,y,z)=t(-5,-4,1)+\left(0,\frac{6}{5},\frac{16}{5}\right),t\in \Re}\).

ODPOWIEDZ