całka niewłaściwa metodą residuum

[tomato86]

Mam do obliczenia całkę niewłaściwą:
\(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos2x\,dx}{(x^2+9)^2}}\)

Wynikiem całkowania zatem będzie:
\(\displaystyle{ 2\pi i \sum_{k=1}^n \text{res}\limits_{z_k}f(z)}\)

Gdzie wszystkie \(\displaystyle{ z_1, z_2, \dots, z_n}\) są punktami osobliwymi w górnej półpłaszczyźnie.

Funkcja ta posiada dwa bieguny \(\displaystyle{ x=3i}\) oraz \(\displaystyle{ x=-3i}\), interesują nas jedynie te, które znajdują się w górnej półpłaszczyźnie, tak więc residuum liczymy dla \(\displaystyle{ x=3i}\).

I tu jest problem. Znaczy, licząc w Mathematica (bądź Wolfram Alpha):

Kod: Zaznacz cały

Integrate[Cos[2 x]/(9 + x^2)^2, {x, -Infinity, Infinity}]

uzyskuję wynik \(\displaystyle{ \frac{7 \pi}{54 e^6}\approx0.001009456}\), natomiast residuum (pomnożone przez \(\displaystyle{ 2\pi i}\) ze wzoru) tej samej funkcji w \(\displaystyle{ x=3i}\) obliczone następująco:

Kod: Zaznacz cały

Residue[Cos[2 x]/(x^2+9)^2,{x,3i}]  Pi i 2

wynosi:
\(\displaystyle{ \frac{1}{54}\pi(\cosh6-6\sinh6)\approx-58.6758348}\)

Proszę o wskazanie gdzie robię błąd.

[luka52]

Liczyć residuum złej funkcji...

[tomato86]

Tak, jak myślałem.

Wyciągnąć \(\displaystyle{ e^{\alpha iz}}\) przed nawias? Te klamry w 79900.htm, pkt. 3 mają jakieś dodatkowe znaczenie czy są użyte tylko do grupowania wyrażeń?

[luka52]

Te klamry to tzw. nawiasy klamrowe, czyli pełnią rolę nawiasu ;]
Jak \(\displaystyle{ e^{\alpha i z}}\) wyciągnąć przed nawias? Liczysz residuum całego wyrażenia - tego członu z eksponentą i resztą.

[tomato86]

Wyciąganie przed nawias: no, w znaczeniu, że \(\displaystyle{ \cos az = \frac{1}{2}e^{-iaz}-\frac{1}{2}e^{iaz}}\), wtedy nie mam \(\displaystyle{ \cos}\) w wyrażeniu podcałkowym.

Co do liczenia: chyba nadal nie rozumiem, gdy liczę residuum uzyskuję:
\(\displaystyle{ \text{res}_{3i} e^{2ix} \frac{\cos2x}{x^2+9} = -\frac{i\cosh6}{6e^6}}\)
alternatywnie:
\(\displaystyle{ \text{res}_{3i} \frac{e^{2ix}}{x^2+9} = -\frac{1}{6e^6}}\)

oba dalekie od \(\displaystyle{ \frac{7\pi}{54e^6}}\)

Chyba, że \(\displaystyle{ a}\) dobieram źle, jeżeli tak, to jak należy dobrać \(\displaystyle{ a}\)?

[luka52]

Nie, nie tak.
Rozważamy całkę \(\displaystyle{ \int_\Gamma \frac{e^{2 i z}}{(z^2 + 9)^2} \; \mbox d z}\) po odpowiednim konturze. I teraz liczymy wartość:

\(\displaystyle{ 2 \pi i \cdot \textbf{res}_{z = 3 i} \frac{e^{2 i z}}{(z^2 + 9)^2} = \ldots}\)

, która to jest wartością początkowej całki.

[tomato86]

Jasne!

potęga z mianownika mi uciekła

Kod: Zaznacz cały

 Residue[e^(2 i x)/(x^2+9)^2,{x,3i}] 2 Pi i

daje oczywiście wynik zgodny z całkowaniem, czyli \(\displaystyle{ \frac{7\pi}{54e^6}}\)

Jeszcze jedno pytanie: \(\displaystyle{ a}\) jest stałą przy \(\displaystyle{ x}\) z funkcji \(\displaystyle{ \cos}\) bądź \(\displaystyle{ \sin}\) z licznika?

[luka52]

Tak, to co jest w sinusie lub kosinusie wędruje do wykładnika \(\displaystyle{ e}\) plus (a właściwie to razy : ) \(\displaystyle{ i}\).

[tomato86]

Dziękuję serdecznie za pomoc.

Myślę, że dobrze było by dodać tą \(\displaystyle{ \alpha}\) do całki niewłaściwej w kompendium, tymczasem rozwiązanie analityczne (na 99% prawidłowe ):

Jak powyżej, funkcja posiada dwa bieguny, dla \(\displaystyle{ z=3i}\) i \(\displaystyle{ z=-3i}\), z tego jedynie \(\displaystyle{ z=3i}\) leży w górnej półpłaszczyźnie.
Funkcja zawiera \(\displaystyle{ \cos}\) bądź \(\displaystyle{ \sin}\) w wyrażeniu podcałkowym, tak więc musimy ją przekształcić:
\(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos2x\,dx}{(x^2+9)^2}
=\int\limits_{\Gamma} \frac{e^{2xi}\,dx}{(x^2+9)^2}}\)
Oczywiście przekształcenie te nie zmienia położenia biegunów. Liczymy teraz residuum funkcji
w biegunie podwójnym, stosujemy więc poniższy wzór:
\(\displaystyle{ \mathbf{res}_{z_0} f(z) = \frac{1}{(k-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}}[(z-z_0)^kf(z)]}\)
a więc:
\(\displaystyle{ \mathbf{res}_{3i}\frac{e^{2zi}}{(z^2+9)^2} = \frac{1}{(2-1)!}\lim_{z\to3i}\frac{d}{dz}(z-3i)^2\frac{e^{2zi}}{(z^2+9)^2}\\
\qquad= \lim_{z\to3i}\frac{d}{dz}(z-3i)^2\frac{e^{2zi}}{(z^2-(3i)^2)(z^2-(3i)^2)}\\
\qquad= \lim_{z\to3i}\frac{d}{dz}(z-3i)^2\frac{e^{2zi}}{(z-3i)^2(z+3i)^2}\\
\qquad= \lim_{z\to3i}\frac{d}{dz}\frac{e^{2zi}}{(z+3i)^2}}\)
Rozbijamy pochodną sumy na sumę pochodnych:
\(\displaystyle{ = \lim_{z\to3i}\frac{\frac{d}{dz} e^{2zi}}{(z+3i)^2}
+ e^{2zi} \frac{d}{dz}\left(\frac{1}{(z+3i)^2}\right)\\
\qquad= \lim_{z\to3i}\frac{2ie^{2zi}}{(z+3i)^2}+e^{2zi}\frac{d}{dz}\left(\frac{1}{(z+3i)^2}\right)\\}\)
Traktujemy \(\displaystyle{ \frac{1}{(z+3i)^2}}\) jako funkcję złożoną
\(\displaystyle{ = \lim_{z\to3i}\frac{2ie^{2zi}}{(z+3i)^2}-\frac{2e^{2zi}}{(z+3i)^3}\\
\qquad= \frac{2ie^{2(3i)i}}{(3i+3i)^2}-\frac{2e^{2(3i)i}}{(3i+3i)^3}\\
\qquad= \frac{2ie^{-6}}{-36}-\frac{2e^{-6}}{-216i}\\
\qquad= -\frac{2i}{36e^6}+\frac{1}{108ie^6}\\
\qquad= -\frac{6i}{108e^6}-\frac{i}{108e^6}\\
\qquad= -\frac{7i}{108e^6}}\)
Tak więc:
\(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos2x\,dx}{(x^2+9)^2} = 2\pi i \cdot \frac{-7i}{108e^6} = \frac{7 \pi}{54 e^6}}\)

[hawk_007]

czy może mi ktoś wyjaśnić skąd bierze się
\(\displaystyle{ e ^{2zi}}\)
bo chyba \(\displaystyle{ cost= \frac{e ^{it} + e ^{-it} }{2}}\)
czy taki jest po prostu wzór i trzeba to przyjać za oczywiste???

[miodzio1988]

W kompendium masz napisane jak się przekształca całki rzeczywiste na zespolone i odwrotnie. Temat Luka52

[Spektralny]

czy może mi ktoś wyjaśnić skąd bierze się
\(\displaystyle{ e ^{2zi}}\)
bo chyba \(\displaystyle{ cost= \frac{e ^{it} + e ^{-it} }{2}}\)
czy taki jest po prostu wzór i trzeba to przyjać za oczywiste???

Niczego nie trzeba przyjmować za oczywiste. Po prostu potrzebujesz tutaj wzoru Eulera.